Διάμετρος

Διάμετρος $\mathrm{A}\mathrm{B}$ του κύκλου με κέντρο $\mathrm{O}$.

Στην γεωμετρία, η διάμετρος ενός κύκλου είναι οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου. Μπορεί επίσης να οριστεί ως η χορδή του κύκλου με το μεγαλύτερο μήκος. Και οι δύο αυτοί ορισμοί γενικεύονται στην σφαίρα.Τα άκρα μιας διαμέτρου ονομάζονται αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου.

Στην σύγχρονη ορολογία, το μήκος $\delta$ της διαμέτρου, καλείται επίσης διάμετρος. Με αυτή την χρήση αναφερόμαστε Πρότυπο:Em διάμετρο και όχι Πρότυπο:Em διάμετρο (που αναφέρεται στο ευθύγραμμο τμήμα καθαυτό), γιατί όλες οι διάμετροι του κύκλου ή της σφαίρας έχουν το ίδιο μήκος, δύο φορές το μέγεθος της ακτίνας $r$, δηλαδή

$d=2r$ ή ισοδύναμα $r=\frac{d}{2}$.

Πιο γενικά, σε ένα κυρτό σχήμα, η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη απόσταση που μπορεί να δημιουργηθεί από δύο αντίθετες παράλληλες ευθείες που εφάπτονται στον περίβλημά του, και το Πρότυπο:Em συνήθως ορίζεται ως η μικρότερη τέτοια απόσταση. Και τα δύο μεγέθη μπορούν να υπολογιστούν αποδοτικά με την χρήση rotating calipers.

Σε μία έλλειψη, η ορολογία είναι διαφορετική. Η διάμετρος μίας έλλειψης είναι οποιαδήποτε χορδή διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης. Αυτός ο ορισμός γενικεύεται και σε άλλες κωνικές τομές.

Η λέξη διάμετρος έρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη διάμετρος (διά + μέτρον). Συνήθως συντομεύεται σε $\text{DIA},\text{dia},d,\delta$, ή $\varnothing$.

Γενικεύσεις

Οι παραπάνω ορισμοί ισχύουν μόνο για κύκλους, σφαίρες και κυρτά σχήματα. Αυτά είναι ειδικές περιπτώσεις ενός πιο γενικού ορισμού που ισχύει για οποιοδήποτε $n$-διάσταστο (κυρτό ή μη-κυρτό) σχήμα, όπως είναι ο υπερκύβος ή ένα σύνολο από τυχαία σημεία. Η διάμετρος ενός υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου είναι το supremum του συνόλου όλων των αποστάσεων μεταξύ ζευγαριών των σημείων στο υποσύνολο. Πιο συγκεκριμένα, αν $S$ είναι το υποσύνολο και αν $\mu$ είναι μία μετρική απόσταση, η διάμετρος ορίζεται ως $$\mathrm{diam}(S)=\underset{x,y\in S}{\sup }\mu (x,y).$$

Αν η μετρική $\rho$ έχει πεδίο τιμών το το σύνολο των πραγματικών αριθμών $ℝ$, αυτό συνεπάγεται ότι το κενό σύνολο (δηλαδή όταν $S=\varnothing$) έχει διάμετρο $-\mathrm{\infty }$ (αρνητικό άπειρο). Κάποιοι μαθηματικοί προτιμούν να αντιμετωπίζουν το κενό σύνολο ως μία ειδική περίπτωση, δίνοντάς του την διάμετρο$0,$ που αντιστοιχεί στο πειδίο τιμών της $\mu$ να είναι το σύνολο των μη-αρνητικών αριθμών.

Για οποιοδήποτε στερεό σχήμα ή σύνολο από σημεία στο $n$-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, η διάμετρος του σχήματος ή του συνόλου είναι η ίδια με την διάμετρο του κυρτού περιβλήματός του.

Στην διαφορική γεωμετρία, η διάμετρος είναι ένα σημαντικό Ριμανικό αναλλοίωτο.