Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.^[1]Πρότυπο:Rp^[2]Πρότυπο:Rp^[3]Πρότυπο:Rp^[4]Πρότυπο:Rp^[5]Πρότυπο:Rp Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε $n \times n$ πίνακας $D$ , ο οποίος ικανοποιεί $D_{i j} = 0$ για κάθε $i \neq j$ και $1 \leq i, j \leq n$ .

Για $n = 2, 3, 4$ , κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων $n \times n$ έχει αντίστοιχα την μορφή:

\underset{2 \times 2}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{matrix}]}} \underset{3 \times 3}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} \end{matrix}]}} \underset{4 \times 4}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} \end{matrix}]}}

για κάποια στοιχεία $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ . Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}$ στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:^[6]Πρότυπο:Rp^[7]

diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) = [\begin{matrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & d_{n} \end{matrix}] .

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις $n \times n$ για $n = 2, 3, 4$ αντίστοιχα:

[\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2.2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 21 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 8.3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας $𝟎_{n, n} = diag (0, \dots, 0)$ είναι διαγώνιος.
Ο μοναδιαίος πίνακας $I_{n} = diag (1, \dots, 1)$ είναι διαγώνιος.

Ιδιότητες

Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων $A = diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ και $B = diag (b_{1}, \dots, b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσoς με

A + B = diag (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})

.

Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων $A = diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ και $B = diag (b_{1}, \dots, b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσος με

A B = diag (a_{1} \cdot b_{1}, \dots, a_{n} \cdot b_{n})

.

Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό

m \in ℕ

A^{m} = diag (a_{1}^{m}, \dots, a_{n}^{m})

.

Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ με ένα στοιχείο $c$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με

c D = diag (c \cdot d_{1}, \dots, c \cdot d_{n})

.

Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή

tr (D) = d_{1} + d_{2} + \dots + d_{n}

.

Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδήΠρότυπο:R

\det (D) = d_{1} \cdot d_{2} \cdot \dots \cdot d_{n}

.

Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.

Αν $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ με $d_{1} \neq 0, \dots, d_{n} \neq 0$ , τότεΠρότυπο:R

D^{- 1} = diag (d_{1}^{- 1}, \dots, d_{n}^{- 1})

,

που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς

D^{- 1} D = D D^{- 1} = diag (d_{1} d_{1}^{- 1}, \dots, d_{n} d_{n}^{- 1}) = diag (1, \dots, 1) = I

.

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[ΧΦ15-1] Πρότυπο:Cite book

[2] Πρότυπο:Cite book

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite book

[Κκ-5] Πρότυπο:Cite book

[6] Πρότυπο:Cite book

[7] Πρότυπο:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Διαγώνιος πίνακας

Παραδείγματα

Ιδιότητες

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση