Ελλιπής αριθμός

Επίδειξη, με ράβδους Cuisenaire, της ανεπάρκειας του αριθμού 8

Στη θεωρία αριθμών ελλιπής αριθμός (Πρότυπο:Lang-en) είναι ένας αριθμός ν για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών του είναι μικρότερο από 2ν. Αντίστοιχα, είναι ένας αριθμός για τον οποίο το άθροισμα των κατάλληλων διαιρέτων του (ή άθροισμα ομαλών διαιρετών) είναι μικρότερο από ν. Για παράδειγμα, οι κατάλληλοι διαιρέτες του 8 είναι 1, 2 και 4 και το άθροισμά τους είναι μικρότερο από 8, άρα το 8 είναι ανεπαρκής.

Δηλώνοντας με σ(ν) το άθροισμα των διαιρετών, η τιμή 2ν − σ(ν) ονομάζεται ανεπάρκεια του αριθμού. Όσον αφορά το άθροισμα s(ν), η ανεπάρκεια είναι ν − s(ν).

Παραδείγματα

Οι πρώτοι ανεπαρκείς αριθμοί είναι

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... Πρότυπο:Oeis

Για παράδειγμα, σκεφτείτε τον αριθμό 21. Οι κατάλληλοι διαιρέτες του είναι το 1, το 3 και το 7 και το άθροισμά τους είναι 11. Επειδή το 11 είναι μικρότερο από το 21, ο αριθμός 21 είναι ανεπαρκής. Η ανεπάρκειά του είναι 2 × 21 - 32 = 10.

Ιδιότητες

Δεδομένου ότι το άθροισμα των διαιρετών των πρώτων αριθμών είναι ίσο με 1, όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι ανεπαρκείς. Γενικότερα, όλοι οι περιττοί αριθμοί με έναν ή δύο διακριτούς πρώτους παράγοντες είναι ανεπαρκείς. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί περιττοίανεπαρκείς αριθμοί. Υπάρχει επίσης ένας άπειρος αριθμός άρτιων ανεπαρκών αριθμών καθώς όλες οι δυνάμεις των δύο είναι (Πρότυπο:Math).

Γενικότερα, όλες οι πρώτες δυνάμεις $p^{\kappa }$είναι ανεπαρκείς επειδή οι μόνοι κατάλληλοι διαιρέτες τους είναι $1,p,p^2,\dots ,p^{\kappa -1}$ το οποίο αθροίζει σε $\frac{p^{\kappa }-1}{p-1}$, που είναι το πολύ $p^k-1$

Όλοι οι κατάλληλοι διαιρέτες των ανεπαρκών αριθμών είναι ανεπαρκείς. Επιπλέον, όλοι οι κατάλληλοι διαιρέτες των τέλειων αριθμών είναι ανεπαρκείς.

Υπάρχει τουλάχιστον ένας ανεπαρκής αριθμός στο διάστημα $[n,n+(\log n{)}^2]$ για αρκετά μεγάλες τιμές του ν.

Σχετικές έννοιες

Στενά συνδεδεμένοι με τους ανεπαρκείς αριθμούς είναι οι τέλειοι αριθμοί με σ(ν) = 2ν, και υπερτέλειοι αριθμοί με σ(ν) > 2ν. Οι φυσικοί αριθμοί ταξινομήθηκαν αρχικά ως ανεπαρκής, τέλειοι ή άφθονοι από τον Νικόμαχο στο Introductio Arithmetica (περίπου το 100 μ.Χ.).

Δείτε επίσης

• Σχεδόν τέλειος αριθμός
• Φιλικός αριθμός
• Κοινωνικός αριθμός
• Υπερπληθής αριθμός

Bιβλιογραφικές αναφορές

• Πρότυπο:Cite book

Eξωτερικοί σύνδεσμοι

• The Prime Glossary: Deficient number
• Πρότυπο:Mathworld