Θεώρημα ευθείας του Ντροζ-Φάρνι

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Η ευθεία που διέρχεται από τα A0,B0,C0 λέγεται ευθεία Ντροζ-Φάρνι

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, το θεώρημα ευθείας του Ντροζ-Φάρνι είναι μια ιδιότητα δύο κάθετων ευθειών που διέρχονται από το ορθοκέντρο ενός αυθαίρετου τριγώνου.

Έστω T ένα τρίγωνο με κορυφές A, B και C, και έστω H το ορθοκέντρο του (το κοινό σημείο από τα τρία ύψη του). Έστω L1 και L2 δύο οποιεσδήποτε αμοιβαία κάθετες ευθείες που διέρχονται από το H. Έστω A1, B1 και C1 τα σημεία όπου η L1 τέμνει τις πλευρικές ευθείες BC, CA και AB αντίστοιχα. Ομοίως, έστω A2, B2, και C2 είναι τα σημεία όπου η L2 τέμνει αυτές τις πλευρικές ευθείες. Το θεώρημα της ευθείας Ντροζ-Φάρνι λέει ότι τα μέσα των τριών τμημάτων A1A2, B1B2, και C1C2 είναι συγγραμμικά.[1][2][3]

Το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Άρνολντ Ντροζ-Φάρνι το 1899,[1] αλλά δεν είναι σαφές αν είχε απόδειξη.[4]

Η γενίκευση του Γκορμάχτιγκ

Μια γενίκευση του θεωρήματος της γραμμής Ντροζ-Φαρνί αποδείχθηκε το 1930 από τον Ρενέ Γκορμάχτιγκ[5].

Όπως παραπάνω, έστω T ένα τρίγωνο με κορυφές A, B και C. Έστω P οποιοδήποτε σημείο διαφορετικό από τα A, B και C και L οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το P. Έστω A1, B1 και C1 σημεία των πλευρικών ευθειών BC, CA και AB αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι ευθείες PA1, PB1, και PC1 είναι οι εικόνες των ευθειών PA, PB, και PC, αντίστοιχα, με ανάκλαση ως προς την ευθεία L. Το θεώρημα του Γκορμάχτιγκ αναφέρει τότε ότι τα σημεία A1, B1, και C1 είναι κολλητά.

Το θεώρημα της γραμμής Ντροζ-Φάρνι είναι μια ειδική περίπτωση αυτού του αποτελέσματος, όταν το P είναι το ορθοκέντρο του τριγώνου T.

Η γενίκευση του Ντάο

Η δεύτερη γενίκευση του Ντάο

Το θεώρημα γενικεύτηκε περαιτέρω από τον Ντάο Τανχ Οάι. Η γενίκευση έχει ως εξής:

Πρώτη γενίκευση: Έστω ABC τρίγωνο, P σημείο στο επίπεδο, έστω τρία παράλληλα τμήματα AA', BB', CC' τέτοια ώστε τα μέσα του και το P να είναι συγγραμμικά. Τότε τα PA', PB', PC' συναντούν τα BC, CA, AB αντίστοιχα σε τρία συγγραμμικά σημεία.[6]

Δεύτερη γενίκευση: Έστω μια Κωνική τομή S και ένα σημείο P στο επίπεδο. Κατασκευάστε τρεις ευθείες da, db, dc μέσω του P έτσι ώστε να συναντούν την κωνική στα σημεία A, A', B, B', C, C' αντίστοιχα. Έστω D ένα σημείο στην πολική του σημείου P ως προς το (S) ή το D βρίσκεται στην κωνική τομή (S). Έστω DA' ∩ BC =A0; DB' ∩ AC = B0; DC' ∩ AB= C0. Τότε τα A0, B0, C0 είναι συγγραμμικά. [7][8][9]

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

  1. ↑ 1,0 1,1 A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  2. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem Πρότυπο:Webarchive". Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, Πρότυπο:ISSN
  3. ↑ Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein (), Droz-Farny Theorem at Mathworld
  4. ↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
  5. ↑ René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg". Mathesis, volume 44, page 25
  6. ↑ Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem Πρότυπο:Webarchive." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, Πρότυπο:ISSN
  7. ↑ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 Πρότυπο:Webarchive, Πρότυπο:ISSN
  8. ↑ Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47
  9. ↑ O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot


Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Θεώρημα_ευθείας_του_Ντροζ-Φάρνι&oldid=2956»