Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

Ακολουθεί ένας κατάλογος σημαντικών τύπων που περιλαμβάνουν τη μαθηματική σταθερά [[Π (μαθηματική σταθερά)|Πρότυπο:Pi]]. Πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να βρεθούν εδώ → Π.

Ευκλείδεια γεωμετρία

$\pi =\frac{C}{d}=\frac{C}{2r}$

όπου Πρότυπο:Math είναι η περιφέρεια ενός κύκλου, Πρότυπο:Math είναι η διάμετρος και Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα. Γενικότερα,

$A=\pi r^2$

όπου Πρότυπο:Math είναι το εμβαδόν ενός κύκλου. Γενικότερα,

$A=\pi ab$

όπου Πρότυπο:Math είναι το εμβαδόν που περικλείεται από μια έλλειψη με μεγάλο άξονα τον Πρότυπο:Math και μικρό άξονα τον Πρότυπο:Math.

$C=\frac{2\pi }{\mathrm{agm}(a,b)}(a_1^2-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-1}(a_n^2-b_n^2))$

όπου Πρότυπο:Math είναι η περιφέρεια μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα τον Πρότυπο:Math και μικρό άξονα τον Πρότυπο:Math και $a_n,b_n$ είναι οι αριθμητικές και γεωμετρικές επαναλήψεις του $\mathrm{agm}(a,b)$, δηλαδή του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (όρου) των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math με αρχικές τιμές $a_0=a$ και $b_0=b$.

$A=4\pi r^2$

όπου Πρότυπο:Math είναι το εμβαδόν μεταξύ της μάγισσας της Ανιέσι και της ασυμπτωτικής γραμμής της. Το Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα του κύκλου που ορίζουμε.

$A=(k+1)(k+2)\pi r^2$

όπου Πρότυπο:Math είναι το εμβαδόν μιας επικυκλοειδούς καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο να έχει ακτίνα Πρότυπο:Math και τον μεγαλύτερο κύκλο να έχει ακτίνα Πρότυπο:Math ($k\in \mathbb{N}$), υποθέτοντας ότι το αρχικό σημείο βρίσκεται στον μεγαλύτερο κύκλο.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

όπου Πρότυπο:Math είναι ο όγκος μιας σφαίρας και Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα.

$SA=4\pi r^2$

όπου Πρότυπο:Math είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας και Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα.

$H=\frac{1}{2}{\pi }^2{r}^4$

όπου Πρότυπο:Math είναι ο υπερόγκος μιας 3-σφαίρας και Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα.

$SV=2{\pi }^2{r}^3$

όπου Πρότυπο:Math είναι ο όγκος της επιφάνειας μιας 3-σφαίρας και Πρότυπο:Math είναι η ακτίνα.

Κανονικά κυρτά πολύγωνα

Άθροισμα Πρότυπο:Math εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με Πρότυπο:Math πλευρές:

$S=(n-2)\pi$

Εμβαδόν Πρότυπο:Math ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με Πρότυπο:Math πλευρές και μήκος πλευράς Πρότυπο:Math:

$A=\frac{n{s}^2}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

Φυσική

• Η κοσμολογική σταθερά:

  $\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho$

• Η αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ:

  $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

• Ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτρική δύναμη στο κενό:

  $F=\frac{|q_1{q}_2|}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

• Μαγνητική διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου:

  ${\mu }_0\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^2$

• Περίοδος απλού εκκρεμούς με μικρό πλάτος ταλάντωσης:

  $T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

• Περίοδος απλού εκκρεμούς με πλάτος ${\theta }_0$ ($\mathrm{agm}$ είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)):

  $T=\frac{2\pi }{\mathrm{agm}(1,\cos ({\theta }_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}$

• Περίοδος συστήματος ελατηρίου-μάζας με σταθερά ελατηρίου $k$ και μάζα $m$:

  $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

• Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών:

  $\frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4{\pi }^2}$

• Ο τύπος λυγισμού:

  $F=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$

Τύποι που υπολογίζουν το π

Ολοκληρώματα

$2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\pi$ (ολοκληρώνουμε δύο φορές την συνάρτηση $y(x)=\sqrt{1-x^2}$ για να πάρουμε το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sech}xdx=\pi$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-1/2t^2-x^2+xt}dxdt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2-1/2x^2+xt}dxdt=\pi$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\pi$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$ (κατανομή Κωσύ)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\pi$ (ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (ολοκλήρωμα Γκάους).

$\oint \frac{dz}{z}=2\pi i$ (όταν η διαδρομή της ολοκλήρωσης "τυλίγεται" μια φορά αριστερόστροφα γύρω από το 0. Δείτε επίσης Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ).

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1+\frac{1}{x^2})dx=\pi$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2(1+x{)}^4}{1+x^2}dx=\pi -\frac{17}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\alpha -1}}{x+1}dx=\frac{\pi }{\sin \pi \alpha },0<\alpha <1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x(x+a)(x+b)}}=\frac{\pi }{\mathrm{agm}(\sqrt{a},\sqrt{b})}$ (όπου $\mathrm{agm}$ είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος). Δείτε επίσης Ελλειπτικό ολοκλήρωμα)

Παρατηρήστε ότι στις άρτιες συναρτήσεις, $f(-x)=f(x)$, οι τύποι της μορφής ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx$ μπορούν επίσης να γραφτούν ως $2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Αποτελεσματικές άπειρες σειρές

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{k}k{!}^2}{(2k+1)!}=\frac{\pi }{2}$ (δείτε επίσης Διπλό παραγοντικό)

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{2^k(2k+1)!!}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!(2k)!(25k-3)}{(3k)!2^k}=\frac{\pi }{2}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k}}=\frac{4270934400}{\sqrt{10005}\pi }$ (αλγόριθμος Chudnovsky)

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}=\frac{9801}{2\sqrt{2}\pi }$ (βλέπε σειρά του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν)

Τα ακόλουθα είναι αποτελεσματικά για τον υπολογισμό αυθαίρετων δυαδικών ψηφίων του Πρότυπο:Pi:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{4^k}(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3})=\pi$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})=\pi$ (τύπος των Bailey–Borwein–Plouffe)

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{8}{8k+2}+\frac{4}{8k+3}+\frac{4}{8k+4}-\frac{1}{8k+7})=2\pi$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{2^{10k}}(-\frac{2^5}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}+\frac{2^8}{10k+1}-\frac{2^6}{10k+3}-\frac{2^2}{10k+5}-\frac{2^2}{10k+7}+\frac{1}{10k+9})=2^6\pi$

Σειρά Plouffe για τον υπολογισμό αυθαίρετων δεκαδικών ψηφίων του Πρότυπο:Pi:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\frac{2^{k}k{!}^2}{(2k)!}=\pi +3$

Άλλες άπειρες σειρές

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ (δείτε επίσης Πρόβλημα της Βασιλείας και Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν)

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{2n}}=\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\cdots =(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$, όπου B_2n είναι ένας αριθμός Μπερνούλι.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n-1}{4^n}\zeta (n+1)=\pi$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{7^n-1}{8^n}\zeta (n+1)=(1+\sqrt{2})\pi$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(3/2{)}^n-3}{n}(\zeta (n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (2n)\frac{x^{2n}}{n}=\ln \frac{\pi x}{\sin \pi x},0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ (τύπος του Λάιμπνιτς)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(n^2-n)/2}}{2n+1}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\cdots =\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$ (Νεύτων, Second Letter to Oldenburg, 1676)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3^n(2n+1)}=1-\frac{1}{3^1\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\cdots =\sqrt{3}\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}$ (σειρά Madhava)

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{12}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{24}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^2=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\right)}^3=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots =\frac{{\pi }^3}{32}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^4=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{96}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\right)}^5=\frac{1}{1^5}-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+\cdots =\frac{5{\pi }^5}{1536}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^6=\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{960}$

Γενικότερα,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^{2k+1}}=(-1{)}^k\frac{E_{2k}}{2(2k)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1},k\in {\mathbb{N}}_0$

όπου $E_{2k}$ είναι ο $2k$-οστός αριθμός Όιλερ.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{40}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{9\cdot 11}+\cdots =\frac{\pi }{8}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{(n^2+n)/2+1}\left|G_{((-1{)}^{n+1}+6n-3)/4}\right|=|G_1|+|G_2|-|G_4|-|G_5|+|G_7|+|G_8|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots =\frac{\sqrt{3}}{\pi }$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=\pi -3$ (σειρά Nilakantha)

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{F_{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}$ (όπου $F_n$ είναι ο n-οστός αριθμός Φιμπονάτσι)

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sigma (n)e^{-2\pi n}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi }$ (όπου $\sigma$ είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρετών)

$\pi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{ϵ(n)}}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\cdots$(όπου $ϵ(n)$ είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ του $n$)

$\frac{\pi }{2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\epsilon (n)}}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots$(όπου $\epsilon (n)$ είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής $p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ του $n$)

$\pi =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1/2}$

${\pi }^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1/2{)}^2}$

Οι δύο τελευταίοι τύποι

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{\sin \pi x}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+x}\\ {\left(\frac{\pi }{\sin \pi x}\right)}^2& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^2}\end{array}$

είναι ειδικές περιπτώσεις που παράγουν άπειρους ανάλογους τύπους για το $\pi$, όταν το $x\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}.$

Τύποι του Τζον Μασίν

$\frac{\pi }{4}=\arctan 1$

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{2}-\arctan \frac{1}{7}$

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}$

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ (ο αρχικός τύπος του Μασίν)

$\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}$

$\frac{\pi }{4}=6\arctan \frac{1}{8}+2\arctan \frac{1}{57}+\arctan \frac{1}{239}$

$\frac{\pi }{4}=12\arctan \frac{1}{49}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}$

$\frac{\pi }{4}=44\arctan \frac{1}{57}+7\arctan \frac{1}{239}-12\arctan \frac{1}{682}+24\arctan \frac{1}{12943}$

Άπειρα γινόμενα

$\frac{\pi }{4}=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots$ (Όιλερ)

όπου οι αριθμητές είναι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί. Κάθε παρονομαστής είναι το πολλαπλάσιο του 4 που είναι πιο κοντά στον αριθμητή.

$\frac{\sqrt{3}\pi }{6}=\left(\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\equiv 1(\mathrm{mod}6)}{p\in \mathbb{P}}}\frac{p}{p-1}\right)\cdot \left(\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\equiv 5(\mathrm{mod}6)}{p\in \mathbb{P}}}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{5}{6}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdot \frac{17}{18}\cdots$

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots$ (βλέπε επίσης γινόμενο Γουάλις)

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{n})}^{(-1{)}^{n+1}}={(1+\frac{1}{1})}^{+1}{(1+\frac{1}{2})}^{-1}{(1+\frac{1}{3})}^{+1}\cdots$ (άλλη μορφή του γινομένου του Γουάλις)

Ο τύπος του Viète:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \cdots$

Ένας τύπος διπλού άπειρου γινομένου που περιλαμβάνει την ακολουθία Θουέ-Μορς:

$\frac{\pi }{2}=\prod _{m\ge 1}\prod _{n\ge 1}{\left(\frac{(4m^2+n-2)(4m^2+2n-1{)}^2}{4(2m^2+n-1)(4m^2+n-1)(2m^2+n)}\right)}^{{ϵ}_n},$

όπου ${ϵ}_n=(-1{)}^{t_n}$ και $t_n$ είναι η ακολουθία Θουέ-Μορς Πρότυπο:Harvard citation.

Τύποι με τόξο εφαπτομένης

$\frac{\pi }{2^{k+1}}=\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k},k\ge 2$

$\frac{\pi }{4}=\sum _{k\ge 2}\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k},$

όπου $a_k=\sqrt{2+a_{k-1}}$ τέτοιο ώστε $a_1=\sqrt{2}$.

$\frac{\pi }{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{2k+1}}=\arctan \frac{1}{1}+\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{13}+\cdots$

όπου $F_k$ είναι ο κ-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

όταν ισχύει ότι $a+b+c=abc$ και $a$, $b$, $c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια ειδική περίπτωση είναι:

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Μιγαδικές συναρτήσεις

$e^{i\pi }+1=0$ (ταυτότητα του Όιλερ)

Οι παρακάτω ισοδυναμίες ισχύουν για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό $z$:

$e^z\in ℝ\leftrightarrow \mathrm{\Im }z\in \pi \mathbb{Z}$

$e^z=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb{Z}$

Επίσης,

$\frac{1}{e^z-1}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{z-2\pi in}-\frac{1}{2},z\in ℂ.$

Συνεχή κλάσματα

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\ddots }}}}$

$\pi =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\ddots }}}}$

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\ddots }}}}}$

$2\pi =6+\frac{2^2}{12+\frac{6^2}{12+\frac{10^2}{12+\frac{14^2}{12+\frac{18^2}{12+\ddots }}}}}$

$\pi =4-\frac{2}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{2}{1-\frac{2}{1+\frac{3}{1-\frac{3}{\ddots }}}}}}}$

Επαναληπτικοί αλγόριθμοι

$a_0=1,a_{n+1}=(1+\frac{1}{2n+1})a_n,\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n^2}{n}$

$a_1=0,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\sqrt{2-a_n}$ (Στενά συνδεδεμένο με τον τύπο του Viète)

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},a_1=2^{-k},a_{n+1}=a_n+2^{-k}(1-\tan (2^{k-1}{a}_n)),\pi =2^{k+1}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ (τετραγωνική σύγκλιση)

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\sin a_n,\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ (κυβική σύγκλιση)

$a_0=2\sqrt{3},b_0=3,a_{n+1}=\mathrm{hm}(a_n,b_n),b_{n+1}=\mathrm{gm}(a_{n+1},b_n),\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ (αλγόριθμος του Αρχιμήδη, βλέπε επίσης αρμονικός μέσος και γεωμετρικός μέσος)

Ασυμπτωτικοί τύποι

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των κεντρικών διωνυμικών συντελεστών)

$C_n\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n^3}}$ (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των Καταλανικών αριθμών)

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ (Τύπος Στίρλινγκ)

$\log n!\simeq (n+\frac{1}{2})\log n-n+\frac{\log 2\pi }{2}$

$\sum _{k=1}^n\phi (k)\sim \frac{3n^2}{{\pi }^2}$ (όπου $\phi$ είναι η συνάρτηση Όιλερ)

$\sum _{k=1}^n\frac{\phi (k)}{k}\sim \frac{6n}{{\pi }^2}$

Το σύμβολο $\sim$ σημαίνει ότι η αναλογία της αριστερής πλευράς και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 1 όσο το $n\to \mathrm{\infty }$.

Το σύμβολο $\simeq$ σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 0 όσο το $n\to \mathrm{\infty }$.

Ανάμικτοι τύποι

$\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$ (τύπος ανάκλασης του Όιλερ, βλέπε Συνάρτηση γάμμα)

${\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)$ (η συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν)

$e^{-{\zeta }^{\prime }(0)}=\sqrt{2\pi }$

$e^{{\zeta }^{\prime }(0,1/2)-{\zeta }^{\prime }(0,1)}=\sqrt{\pi }$ (όπου $\zeta (s,a)$ είναι η συνάρτηση ζήτα του Hurwitz και η παράγωγος λαμβάνεται ως προς την πρώτη μεταβλητή)

$\pi =\mathrm{B}(1/2,1/2)=\mathrm{\Gamma }(1/2{)}^2$ (δείτε επίσης Συνάρτηση βήτα)

$\pi =\frac{\mathrm{\Gamma }(3/4{)}^4}{\mathrm{agm}(1,1/\sqrt{2}{)}^2}=\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(1/4\right)}^{4/3}\mathrm{agm}(1,\sqrt{2}{)}^{2/3}}{2}$

$i\pi =\mathrm{Log}(-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n((-1{)}^{1/n}-1)$ (όπου $\mathrm{Log}$ είναι η κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου)

$1-\frac{{\pi }^2}{12}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n(nmodk)$ (όπου $nmodk$ είναι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του n με το k)

$\pi =\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{r^2}\sum _{x=-r}^r\sum _{y=-r}^r\{\begin{array}{cc}1& \text{if }\sqrt{x^2+y^2}\le r\\ 0& \text{if }\sqrt{x^2+y^2}>r\end{array}$ (αθροίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου)

$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4}{n^2}\sum _{k=1}^n\sqrt{n^2-k^2}$ (άθροισμα Ρίμαν για τον υπολογισμό του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου)

$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{4n}n{!}^4}{n(2n){!}^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{4n}}{n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2$ (συνδυάζοντας τον τύπο του Στίρλινγκ με το γινόμενο Γουάλις)

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Πρότυπο:Cite journal
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, Πρότυπο:ISBN.