Διπλό παραγοντικό

Τα δεκαπέντε διαφορετικά διαγράμματα χορδών με έξι σημεία πάνω σε έναν πλήρη γράφο έξι κορυφών. Αυτά υπολογίζονται με το διπλό παραγοντικό: 15 = (6 − 1)!!.

Στα μαθηματικά, το διπλό παραγοντικό ενός αριθμού Πρότυπο:Mvar, που συμβολίζεται με Πρότυπο:Math, είναι το γινόμενο όλων των άρτιων θετικών ακεραίων μέχρι το Πρότυπο:Mvar (αν το Πρότυπο:Mvar είναι άρτιος) ή το γινόμενο όλων των περιττών θετικών ακεραίων μέχρι το Πρότυπο:Mvar (αν το Πρότυπο:Mvar είναι περιττός). Δηλαδή,

$$n!!=\prod _{k=0}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$$

Με άλλα λόγια, αυτό λέει ότι για άρτιο αριθμό Πρότυπο:Mvar, το διπλό παραγοντικό είναι$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac{n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2,$$ενώ για περιττό αριθμό Πρότυπο:Mvar είναι$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac{n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1.$$Για παράδειγμα, Πρότυπο:Math.

Η ακολουθία των διπλών παραγοντικών για άρτιο αριθμό Πρότυπο:Mvar = Πρότυπο:Math είναι

Η ακολουθία των διπλών παραγοντικών για περιττό αριθμό Πρότυπο:Mvar = Πρότυπο:Math είναι

Ο όρος περιττό παραγοντικό χρησιμοποιείται μερικές φορές για το διπλό παραγοντικό ενός περιττού αριθμού.

Ο όρος ημιπαραγοντικό χρησιμοποιείται επίσης από τον Ντόναλντ Κνουθ ως συνώνυμο του διπλού παραγοντικού.

Ιστορία και χρήση

Σε ένα άρθρο του 1902, ο φυσικός Άρθουρ Σούστερ έγραψε: Πρότυπο:Quote Ο Meserve (1948) δήλωσε ότι το διπλό παραγοντικό εισάχθηκε αρχικά για να απλοποιήσει την έκφραση ορισμένων τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων που προκύπτουν από το γινόμενο Γουάλις. Τα διπλά παραγοντικά προκύπτουν επίσης στην έκφραση του όγκου μιας μπάλας και της επιφάνειας μιας υπερσφαίρας και έχουν πολλές εφαρμογές στην αριθμητική συνδυαστική. Εμφανίζονται και στην κατανομή t-Student (1908), αν και ο Gosset δεν χρησιμοποιούσε τον συμβολισμό του διπλού θαυμαστικού.

Σχέση με το παραγοντικό

Επειδή το διπλό παραγοντικό περιλαμβάνει μόνο τους μισούς παράγοντες του συνηθισμένου παραγοντικού, η τιμή του δεν είναι πολύ μεγαλύτερη από την τετραγωνική ρίζα του παραγοντικού Πρότυπο:Math.

Το παραγοντικό ενός θετικού αριθμού Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο διπλών παραγοντικών: $$n!=n!!\cdot (n-1)!!,$$και ως εκ τούτου $$n!!=\frac{n!}{(n-1)!!}=\frac{(n+1)!}{(n+1)!!},$$όπου ο παρονομαστής απλοποιεί τους παράγοντες που βρίσκονται στον αριθμητή. (Η τελευταία ισότητα ισχύει επίσης όταν Πρότυπο:Math.)

Για έναν άρτιο μη-αρνητικό ακέραιο Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math, το διπλό παραγοντικό μπορεί να εκφραστεί ως$$(2k)!!=2^{k}k!.$$

Για περιττό αριθμό Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math, ο συνδυασμός των δύο προηγούμενων τύπων δίνει$$(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^{k}k!}=\frac{(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}.$$

Για έναν περιττό θετικό ακέραιο Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math, το διπλό παραγοντικό μπορεί να εκφραστεί με τους όρους των [[Μετάθεση (μαθηματικά)|Πρότυπο:Mvar-μεταθέσεων του Πρότυπο:Math]] ή με το καθοδικό παραγοντικό ως εξής:$$(2k-1)!!=\frac{{}_{2k}{P}_k}{2^k}=\frac{(2k{)}^{\underset{\_}{k}}}{2^k}.$$

Ασυμπτωτικά

Η προσέγγιση Στίρλινγκ για το παραγοντικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξαχθεί ένα ασυμπτωτικό ισοδύναμο για το διπλό παραγοντικό. Ειδικότερα, αφού $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n,$ όσο το $n$ τείνει στο άπειρο:

$$n!!\sim \{\begin{array}{cc}\sqrt{\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{n/2}& \text{αν το }n\text{ είναι άρτιος},\\ \sqrt{2n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{n/2}& \text{αν το }n\text{ είναι περιττός}.\end{array}$$

Επεκτάσεις

Αρνητικά ορίσματα

Το συνηθισμένο παραγοντικό, όταν επεκτείνεται στη συνάρτηση γάμμα, έχει έναν πόλο σε κάθε αρνητικό ακέραιο, αποτρέποντας τον ορισμό του παραγοντικού σε αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, το διπλό παραγοντικό των περιττών αριθμών μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε αρνητικό περιττό ακέραιο όρισμα αντιστρέφοντας την αναδρομική σχέση$$n!!=n\times (n-2)!!$$για να πάρουμε$$n!!=\frac{(n+2)!!}{n+2}.$$Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναδρομική σχέση, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1 και (−5)!! = Πρότυπο:Sfrac. Οι αρνητικοί περιττοί αριθμοί με μεγαλύτερο μέγεθος έχουν κλασματικά διπλά παραγοντικά. Συγκεκριμένα, όταν το Πρότυπο:Mvar είναι περιττός αριθμός, έχουμε ότι$$(-n)!!\times n!!=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}\times n.$$

Μιγαδικά ορίσματα

Παραβλέποντας τον παραπάνω ορισμό του Πρότυπο:Math για άρτιες τιμές του Πρότυπο:Mvar, το διπλό παραγοντικό για περιττούς ακέραιους αριθμούς μπορεί να επεκταθεί στους περισσότερους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς Πρότυπο:Mvar, παρατηρώντας ότι όταν το Πρότυπο:Mvar είναι θετικός περιττός ακέραιος τότε:

$$\begin{array}{cc}z!!& =z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\ & =2^{\frac{z-1}{2}}\left(\frac{z}{2}\right)\left(\frac{z-2}{2}\right)\cdots \left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\\ & =2^{\frac{z-1}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{z}{2}+1)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)}\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{2}^{\frac{z}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{z}{2}+1),\end{array}$$όπου $\mathrm{\Gamma }(z)$ είναι η συνάρτηση γάμμα.

Η τελική έκφραση ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς άρτιους ακεραίους και ικανοποιεί την εξίσωση Πρότυπο:Math παντού όπου ορίζεται. Όπως και με τη συνάρτηση γάμμα που επεκτείνει τη συνηθισμένη παραγοντική συνάρτηση, η διπλή παραγοντική συνάρτηση είναι λογαριθμικά κυρτή με την έννοια του θεωρήματος Bohr–Mollerup. Ασυμπτωτικά, $n!!\sim \sqrt{2n^{n+1}{e}^{-n}}.$

Ο γενικευμένος τύπος $\sqrt{\frac{2}{\pi }}{2}^{\frac{z}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{z}{2}+1)$ δεν συμφωνεί με τον προηγούμενο τύπο γινομένου του Πρότυπο:Math για μη-αρνητικές άρτιες ακέραιες τιμές του Πρότυπο:Mvar. Αντίθετα, αυτός ο γενικευμένος τύπος συνεπάγεται την ακόλουθη εναλλακτική λύση: $$(2k)!!=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{2}^k\mathrm{\Gamma }(k+1)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\prod _{i=1}^k(2i),$$με την τιμή για το 0!! στην προκειμένη περίπτωση να είναι

$0!!=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\approx 0.7978845608\dots$ Πρότυπο:OEIS.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον γενικευμένο τύπο ως ορισμό, ο όγκος μιας Πρότυπο:Mvar-διάστατης υπερσφαίρας ακτίνας Πρότυπο:Mvar μπορεί να εκφραστεί ως

$$V_n=\frac{2{\left(2\pi \right)}^{\frac{n-1}{2}}}{n!!}{R}^n.$$

Επιπλέον ταυτότητες

Για ακέραιες τιμές του Πρότυπο:Mvar, $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\times \{\begin{array}{cc}1& \text{αν τo }n\text{ είναι περιττός}\\ \frac{\pi }{2}& \text{αν τo }n\text{ είναι άρτιος.}\end{array}$$Χρησιμοποιώντας αντ' αυτού την επέκταση του διπλού παραγοντικού των περιττών αριθμών σε μιγαδικούς αριθμούς, ο τύπος είναι$$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

Τα διπλά παραγοντικά μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πιο περίπλοκων τριγωνομετρικών πολυωνύμων.

Τα διπλά παραγοντικά περιττών αριθμών σχετίζονται με τη συνάρτηση γάμμα από την ταυτότητα:

$$(2n-1)!!=2^n\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)}{\sqrt{\pi }}=(-2{)}^n\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)}.$$

Ορισμένες πρόσθετες ταυτότητες που περιλαμβάνουν διπλά παραγοντικά περιττών αριθμών είναι:

$$\begin{array}{cc}(2n-1)!!& =\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\ & =\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-k-1}{k-1})\frac{(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}(2n-2k-3)!!\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!}k(2k-3)!!.\end{array}$$

Μια προσέγγιση για τον λόγο του διπλού παραγοντικού δύο διαδοχικών ακεραίων είναι$$\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\approx \sqrt{\pi n}.$$Αυτή η προσέγγιση γίνεται πιο ακριβής καθώς το Πρότυπο:Mvar αυξάνεται.

Γενικεύσεις

Ορισμοί

Με τον ίδιο τρόπο που το διπλό παραγοντικό γενικεύει την έννοια του απλού παραγοντικού, ο ακόλουθος ορισμός των πολλαπλών παραγοντικών συναρτήσεων με ακέραιες τιμές (πολυπαραγοντικά), ή Πρότυπο:Mvar-παραγοντικές συναρτήσεις, επεκτείνει την έννοια της διπλής παραγοντικής συνάρτησης για θετικούς ακεραίους αριθμούς $\alpha$:

$$n{!}_{(\alpha )}=\{\begin{array}{cc}n\cdot (n-\alpha ){!}_{(\alpha )}& \text{αν }n>\alpha ;\\ n& \text{αν }1\le n\le \alpha ;\text{και}\\ (n+\alpha ){!}_{(\alpha )}/(n+\alpha )& \text{αν }n\le 0\text{ και δεν είναι αρνητικό πολλαπλάσιο του }\alpha ;\end{array}$$

Εναλλακτική επέκταση του πολυπαραγοντικού

Εναλλακτικά, το πολυπαραγοντικό Πρότυπο:Math μπορεί να επεκταθεί στους περισσότερους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς Πρότυπο:Mvar, παρατηρώντας ότι όταν το Πρότυπο:Mvar είναι κατά ένα περισσότερο από ένα θετικό πολλαπλάσιο ενός θετικού ακέραιου αριθμού Πρότυπο:Mvar τότε

$$\begin{array}{cc}z{!}_{(\alpha )}& =z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\ & ={\alpha }^{\frac{z-1}{\alpha }}\left(\frac{z}{\alpha }\right)\left(\frac{z-\alpha }{\alpha }\right)\cdots \left(\frac{\alpha +1}{\alpha }\right)\\ & ={\alpha }^{\frac{z-1}{\alpha }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{z}{\alpha }+1)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{\alpha }+1)}.\end{array}$$

Αυτή η τελευταία έκφραση ορίζεται πολύ ευρύτερα από την αρχική. Με τον ίδιο τρόπο που το Πρότυπο:Math δεν ορίζεται για αρνητικούς ακεραίους και το Πρότυπο:Math δεν ορίζεται για αρνητικούς άρτιους ακεραίους, το Πρότυπο:Math δεν ορίζεται για αρνητικά πολλαπλάσια του Πρότυπο:Mvar. Ωστόσο, ορίζεται και ικανοποιεί την εξίσωση Πρότυπο:Math για όλους τους άλλους μιγαδικούς αριθμούς Πρότυπο:Mvar. Αυτός ο ορισμός είναι συνεπής με τον προηγούμενο ορισμό μόνο για εκείνους τους ακέραιους αριθμούς Πρότυπο:Mvar που ικανοποιούν Πρότυπο:Math.

Γενικευμένοι αριθμοί Στίρλινγκ που επεκτείνουν τις πολυπαραγοντικές συναρτήσεις

Μια κατηγορία γενικευμένων αριθμών Στίρλινγκ του πρώτου είδους ορίζεται για Πρότυπο:Math από την ακόλουθη τριγωνική αναδρομική σχέση:

$${\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha ){\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]}_{\alpha }+{\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]}_{\alpha }+{\delta }_{n,0}{\delta }_{k,0}.$$

Αυτοί οι γενικευμένοι Πρότυπο:Mvar-παραγοντικοί συντελεστές δημιουργούν στη συνέχεια τα διακριτά συμβολικά πολυωνυμικά γινόμενα που ορίζουν τα πολλαπλά παραγοντικά ή τις Πρότυπο:Mvar-παραγοντικές συναρτήσεις, Πρότυπο:Math, ως

$$\begin{array}{cc}(x-1|\alpha {)}^{\underset{\_}{n}}& :=\prod _{i=0}^{n-1}(x-1-i\alpha )\\ & =(x-1)(x-1-\alpha )\cdots (x-1-(n-1)\alpha )\\ & =\sum _{k=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right](-\alpha {)}^{n-k}(x-1{)}^k\\ & =\sum _{k=1}^n{\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_{\alpha }(-1{)}^{n-k}{x}^{k-1}.\end{array}$$

Οι διακριτές πολυωνυμικές επεκτάσεις στις προηγούμενες εξισώσεις στην πραγματικότητα ορίζουν τα Πρότυπο:Mvar-παραγοντικά γινόμενα για πολλαπλές διακριτές περιπτώσεις των ελάχιστων υπολοίπων Πρότυπο:Math για Πρότυπο:Math.

Τα γενικευμένα Πρότυπο:Mvar-παραγοντικά πολυώνυμα Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Math, που γενικεύουν τα πολυώνυμα συνέλιξης Στίρλινγκ από την απλή παραγοντική περίπτωση στις πολυπαραγοντικές περιπτώσεις, ορίζονται ως

$${\sigma }_n^{(\alpha )}(x):={\left[\begin{array}{c}x\\ x-n\end{array}\right]}_{(\alpha )}\frac{(x-n-1)!}{x!}$$

για Πρότυπο:Math.

Πεπερασμένα αθροίσματα που περιλαμβάνουν πολλαπλές παραγοντικές συναρτήσεις

Ας υποθέσουμε ότι το Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math έχουν ακέραιες τιμές. Τότε μπορούμε να επεκτείνουμε τα επόμενα απλά πεπερασμένα αθροίσματα που περιλαμβάνουν τις πολυπαραγοντικές ή Πρότυπο:Mvar-παραγοντικές συναρτήσεις Πρότυπο:Math, όσον αφορά το σύμβολο Pochhammer και τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές, ως εξής:

$$\begin{array}{cc}(\alpha n-1){!}_{(\alpha )}& =\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k+1})(-1{)}^k\times {\left(\frac{1}{\alpha }\right)}_{-(k+1)}{(\frac{1}{\alpha }-n)}_{k+1}\times (\alpha (k+1)-1\left){!}_{(\alpha )}\right(\alpha (n-k-1)-1){!}_{(\alpha )}\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k+1})(-1{)}^k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{\alpha }+k-n}{k+1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{\alpha }-1}{k+1})\times (\alpha (k+1)-1\left){!}_{(\alpha )}\right(\alpha (n-k-1)-1){!}_{(\alpha )},\end{array}$$

και επιπλέον, έχουμε ομοίως ένα διπλό ανάπτυγμα αθροίσματος αυτών των συναρτήσεων που δίνονται από τον τύπο

$$\begin{array}{cc}(\alpha n-1){!}_{(\alpha )}& =\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k+1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{i})(-1{)}^k{\alpha }^{k+1-i}(\alpha i-1){!}_{(\alpha )}(\alpha (n-1-k)-1){!}_{(\alpha )}\times (n-1-k{)}_{k+1-i}\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k+1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-i}{k+1-i})(-1{)}^k{\alpha }^{k+1-i}(\alpha i-1){!}_{(\alpha )}(\alpha (n-1-k)-1){!}_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{array}$$

Παραπομπές

Πρότυπο:Portal bar