Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Η μεσοκάθετος $\epsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Πρότυπο:Clear

Μεσοκάθετοι τριγώνου

Πρότυπο:Κύριο Σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο. Πιο γενικά, σε κάθε εγγεγραμμένο πολύγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκου.

Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο.

Ιδιότητες

• Το μέρος των μεσοκαθέτων $p_{\mathrm{A}}$, $p_{\mathrm{B}}$ και $p_{\mathrm{\Gamma }}$ που είναι εντός του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$p_{\mathrm{A}}=\frac{2\alpha \mathrm{E}}{{\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2},$ $p_{\mathrm{B}}=\frac{2\beta \mathrm{E}}{{\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2}$ και $p_{\mathrm{\Gamma }}=\frac{2\gamma \mathrm{E}}{{\alpha }^2-{\beta }^2+{\gamma }^2}$,

όπου $\alpha \ge \beta \ge \gamma$ και το εμβαδό τρου τριγώνου είναι είναι $\mathrm{E}$.Πρότυπο:Rp

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$ δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο

$y-\frac{{\mathrm{A}}_y+{\mathrm{B}}_y}{2}=-\frac{{\mathrm{B}}_x-{\mathrm{A}}_x}{{\mathrm{B}}_y-{\mathrm{A}}_y}\cdot (x-\frac{{\mathrm{A}}_x+{\mathrm{B}}_x}{2})$,

καθώς η ευθεία διέρχεται από το το μέσο $(\frac{{\mathrm{A}}_x+{\mathrm{B}}_x}{2},\frac{{\mathrm{A}}_y+{\mathrm{B}}_y}{2})$ του $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και έχει κλίση

$m=\frac{{\mathrm{B}}_x-{\mathrm{A}}_x}{{\mathrm{B}}_y-{\mathrm{A}}_y},$

ως κάθετη στο $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Μας δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm{A}\mathrm{B}$. Για να κατασκευάσουμε την μεσοκάθετο με κανόνα και διαβήτη, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$ και ακτίνα $\mathrm{A}\mathrm{B}$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ είναι η μεσοκάθετος του $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Περιγεγραμμένος κύκλος