Πίνακας Μπεζού

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Μπεζού^[1] είναι ένας ειδικός τετραγωνικός πίνακας που σχετίζεται με δύο πολυώνυμα, ο οποίος εισήχθη από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ το 1853 και τον Άρθουρ Κέιλι το 1857 και πήρε το όνομά του από τον Ετιέν Μπεζού Πρότυπο:Sfn Πρότυπο:Sfn. Ο πίνακας Μπεζού μπορεί επίσης να αναφέρεται στην ορίζουσα αυτού του πίνακα, η οποία είναι ίση με την απαλείφουσα^[2] των δύο πολυωνύμων. Οι πίνακες Μπεζού χρησιμοποιούνται μερικές φορές για τον έλεγχο της σταθερότητας ενός συγκεκριμένου πολυωνύμου.

Ορισμός

Έστω $f (z)$ και $g (z)$ δύο μιγαδικά πολυώνυμα βαθμού το πολύ n,^[3]

f (z) = \sum_{i = 0}^{n} u_{i} z^{i}, g (z) = \sum_{i = 0}^{n} v_{i} z^{i} .

(Να σημειωθεί ότι οποιοσδήποτε συντελεστής $u_{i}$ ή $v_{i}$ θα μπορούσε να είναι μηδέν). Ο πίνακας Μπεζού τάξης n που σχετίζεται με τα πολυώνυμα f και g είναι

B_{n} (f, g) = {(b_{i j})}_{i, j = 0, \dots, n - 1}

όπου οι καταχωρήσεις $b_{i j}$ προκύπτουν από την ταυτότητα

\frac{f (x) g (y) - f (y) g (x)}{x - y} = \sum_{i, j = 0}^{n - 1} b_{i j} x^{i} y^{j} .

Είναι ένας n × n μιγαδικός πίνακας και οι καταχωρήσεις του είναι τέτοιες ώστε αν αφήσουμε $m_{i j} = \min {i, n - 1 - j}$ για κάθε $i, j = 0, \dots, n - 1$ , τότε:

b_{i j} = \sum_{k = 0}^{m_{i j}} (u_{j + k + 1} v_{i - k} - u_{i - k} v_{j + k + 1}) .

Σε κάθε πίνακα Μπεζού, μπορεί κανείς να συσχετίσει την ακόλουθη διγραμμική μορφή, που ονομάζεται Μπεζουτιανή:

Bez : ℂ^{n} \times ℂ^{n} \to ℂ : (x, y) \mapsto Bez (x, y) = x^{*} B_{n} (f, g) y .

Παραδείγματα

Για n = 3, έχουμε για κάθε πολυώνυμο f και g βαθμού (το πολύ) 3:

B_{3} (f, g) = [\begin{matrix} u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1} & u_{2} v_{0} - u_{0} v_{2} & u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} \\ u_{2} v_{0} - u_{0} v_{2} & u_{2} v_{1} - u_{1} v_{2} + u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} & u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} \\ u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} & u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} & u_{3} v_{2} - u_{2} v_{3} \end{matrix}] .

Έστω $f (x) = 3 x^{3} - x$ και $g (x) = 5 x^{2} + 1$ τα δύο πολυώνυμα. Τότε:

B_{4} (f, g) = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

Η τελευταία γραμμή και στήλη είναι όλες μηδενικές καθώς οι f και g έχουν βαθμό αυστηρά μικρότερο από το n (που είναι 4). Οι άλλες μηδενικές καταχωρήσεις είναι επειδή για κάθε $i = 0, \dots, n$ , είτε $u_{i}$ or $v_{i}$ είναι μηδέν.

Ιδιότητες

$B_{n} (f, g)$ είναι συμμετρικός (ως πίνακας),
$B_{n} (f, g) = - B_{n} (g, f)$ ,
$B_{n} (f, f) = 0$ ,
$(f, g) \mapsto B_{n} (f, g)$ είναι μια διγραμμική συνάρτηση,
$B_{n} (f, g)$ είναι ένας πραγματικός πίνακας αν οι f και g έχουν πραγματικούς συντελεστές,
Ο $B_{n} (f, g)$ είναι μη γωνιακός με $n = \max (\deg (f), \deg (g))$ αν και μόνο αν οι f και g δεν έχουν κοινές ρίζες.
Η $B_{n} (f, g)$ με $n = \max (\deg (f), \deg (g))$ έχει ορίζουσα που είναι η απαλείφουσα^[2] των f και g.

Εφαρμογές

Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων Μπεζού μπορεί να βρεθεί στη θεωρία ελέγχου.^[4] Για να το δούμε αυτό, έστω f(z) ένα μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n και συμβολίζουμε με q και p τα πραγματικά πολυώνυμα έτσι ώστε f(iy) = q(y) + ip(y) (όπου y είναι πραγματικό). Συμβολίζουμε επίσης r για το rank και σ για την υπογραφή του $B_{n} (p, q)$ . Τότε, έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις:

Η f(z) έχει n - r ρίζες κοινές με τη συζυγή της,
οι αριστερές r ρίζες της f(z) βρίσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε:
- (r + σ)/2 από αυτές βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο, και
- (r - σ)/2 βρίσκονται στο ανοικτό δεξιό ημιεπίπεδο,
Η f είναι σταθερή κατά Χούρβιτς αν και μόνο αν η $B_{n} (p, q)$ είναι θετικά ορισμένη.

Η τρίτη δήλωση παρέχει μια αναγκαία και επαρκή συνθήκη σχετικά με τη σταθερότητα. Εξάλλου, η πρώτη δήλωση παρουσιάζει κάποιες ομοιότητες με ένα αποτέλεσμα που αφορά τους πίνακες του Συλβέστερ, ενώ η δεύτερη μπορεί να συσχετιστεί με το θεώρημα των Ρουθ-Χούρβιτς.

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Εσωτερικό γινόμενο
Αντιερμιτιανός πίνακας
Πίνακας (μαθηματικά)
Τριγωνικός πίνακας
Πραγματικός αριθμός
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Θεωρία ελέγχου
Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[1] Πρότυπο:Cite journal

[:0-2] 2,0 ^2,1 Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

Πίνακας Μπεζού

Περιεχόμενα

Ορισμός

Παραδείγματα

Ιδιότητες

Εφαρμογές

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Πίνακας Μπεζού

Ορισμός

Παραδείγματα

Ιδιότητες

Εφαρμογές

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση