Συνάρτηση κατανομής

Πρότυπο:Πηγές Έστω ένας χώρος πιθανότητας $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση $F_X:ℝ\to [0,1]$ με

$F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid X(\omega )\le x\})$

ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.

Παραδείγματα συναρτήσεων κατανομής.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές x₁, x₂, ... με πιθανότητα p(x_i) = P(Χ=x_i) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

$F(x)=\mathrm{P}(X\le x)=\sum _{x_i\le x}\mathrm{P}(X=x_i)=\sum _{x_i\le x}p(x_i).$

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

$F(x)=\mathrm{P}(X\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

Ιδιότητες

Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιά συνεχής. Επίσης ισχύει

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1.$

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι

$P(a<X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση