Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα ως περιοχή μεταξύ δύο καμπυλών

Διπλό ολοκλήρωμα ως όγκος κάτω από την επιφάνεια Πρότυπο:Math. Το παραλληλεπίδο της βάσης συνιστά το χωρίο ολοκλήρωσης, ενώ η επιφάνεια είναι η γραφική παράσταση της προς ολοκλήρωση συνάρτησης δύο μεταβλητών

Στα μαθηματικά, το πολλαπλό ολοκλήρωμα είναι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης πολλών πραγματικών μεταβλητών, Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math. Τα ολοκληρώματα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών πάνω σε μια περιοχή του ${ℝ}^2$ (επίπεδο των πραγματικών αριθμών) ονομάζονται διπλά ολοκληρώματα και τα ολοκληρώματα μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών πάνω σε μια περιοχή του ${ℝ}^3$ (τρισδιάστατος χώρος των πραγματικών αριθμών) ονομάζονται τριπλά ολοκληρώματα.

Εισαγωγή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας θετικής συνάρτησης της μίας μεταβλητής αντιστοιχεί στο εμβαδόν της περιοχής μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του άξονα Πρότυπο:Mvar. Αντιστοίχως, το διπλό ολοκλήρωμα μιας θετικής συνάρτησης δύο μεταβλητών αποδίδει τον όγκο που βρίσκεται μεταξύ της επιφάνειας που ορίζεται από τη συνάρτηση —στο τρισδιάστατο καρτεσιανό επίπεδο όπου Πρότυπο:Math— και της προβολής της επιφάνειας αυτής στο επίπεδο ${ℝ}^2$ (χωρίο ολοκλήρωσης). Για περισσότερες μεταβλητές, το πολλαπλό ολοκλήρωμα αποδίδει τον όγκο ενός υποσυνόλου του υπερχώρου.

Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης Πρότυπο:Mvar μεταβλητών Πρότυπο:Math πάνω σε ένα χωρίο Πρότυπο:Mvar αποδίδεται συμβολικά με «ένθετα» ολοκληρώματα που υπολογίζονται από το «εσωτερικό» προς το «εξωτερικό» (το ολοκλήρωμα που αντιστοιχεί στο αριστερότερο σύμβολο ολοκλήρωσης και στο δεξιότερο διαφορικό υπολογίζεται τελευταίο). Το χωρίο ολοκλήρωσης αναπαρίσταται συμβολικά για κάθε ολοκλήρωμα ή τοποθετείται στο δεξιότερο εκ των συμβόλων ολοκλήρωσης:

$\int \cdots \underset{𝐃}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

Δεδομένου ότι η έννοια της αντιπαραγώγου ορίζεται για συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής και μόνον, ο συνήθης ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος δεν επεκτείνεται στο πολλαπλό ολοκλήρωμα χωρίς βλάβη της γενικότητας.

Μαθηματικός ορισμός

Για Πρότυπο:Math, θεωρούμε ένα ημιανοικτό Πρότυπο:Mvar-διάστατο υπερορθογώνιο Πρότυπο:Mvar, που ορίζεται ως:

$T=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_n,b_n)\subseteq {ℝ}^n.$

Διαμερίζουμε κάθε διάστημα Πρότυπο:Math σε μια οικογένεια Πρότυπο:Mvar μη αλληλεπικαλυπτόμενων υποδιαστημάτων Πρότυπο:Mvar, με καθένα εξ αυτών να είναι κλειστό στο αριστερό και ανοιχτό στο δεξί άκρο.

Ούτως, η πεπερασμένη οικογένεια υπο-ορθογωνίων

$C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

είναι μια διαμέριση του Πρότυπο:Mvar, δηλαδή τα υπο-ορθογώνια Πρότυπο:Mvar είναι μη αλληλεπικαλυπτόμενα και η ένωσή τους είναι το Πρότυπο:Mvar.

Έστω, τώρα, Πρότυπο:Math μια συνάρτηση που ορίζεται στο Πρότυπο:Mvar. Θεωρούμε μία διαμέριση Πρότυπο:Mvar του Πρότυπο:Mvar όπως ορίζεται παραπάνω, ούτως ώστε το Πρότυπο:Mvar να συνιστά οικογένεια Πρότυπο:Mvar υπο-ορθογωνίων Πρότυπο:Mvar και

$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

Με το κάτωθι άθροισμα Ρίμαν μπορούμε να προσδιορίσουμε προσεγγιστικά τον ολικό Πρότυπο:Math-διάστατο όγκο που οριοθετείται κάτωθεν από το Πρότυπο:Mvar-διάστατο υπερορθογώνιο Πρότυπο:Mvar και άνωθεν από τη Πρότυπο:Mvar-διάστατη γραφική παράσταση της Πρότυπο:Mvar :

$\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

όπου Πρότυπο:Mvar είναι ένα σημείο στο Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Math είναι το γινόμενο των μηκών των διαστημάτων των οποίων το καρτεσιανό γινόμενο είναι Πρότυπο:Mvar, γνωστό και ως μέτρο του Πρότυπο:Mvar .

Η διάμετρος ενός υποορθογώνου Πρότυπο:Mvar είναι το μεγαλύτερο από τα μήκη των διαστημάτων των οποίων το καρτεσιανό γινόμενο είναι Πρότυπο:Mvar. Η διάμετρος μιας δεδομένης διαμέρισης του Πρότυπο:Mvar ορίζεται ως η μεγαλύτερη από τις διαμέτρους των υπο-ορθογωνίων της διαμέρισης. Καθώς η διάμετρος της διαμέρισης Πρότυπο:Mvar μειώνεται σταδιακά, το πλήθος των υπο-ορθογωνίων Πρότυπο:Mvar αυξάνεται και το μέτρο Πρότυπο:Math κάθε υπο-ορθογωνίου φθίνει. Λέμε ότι η συνάρτηση Πρότυπο:Mvar είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη εάν το όριο

$S=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

υπάρχει για όλες τα πιθανές διαμερίσεις του Πρότυπο:Mvar διαμέτρου το πολύ Πρότυπο:Mvar .

Αν η Πρότυπο:Mvar είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, το Πρότυπο:Mvar ονομάζεται ολοκλήρωμα Ρίμαν της Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar και συμβολίζεται ως

$\int \cdots \underset{T}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

Συχνά αυτός ο συμβολισμός αποδίδεται συντομότερα ως

$\underset{T}{\int }f(𝐱)d^n𝐱.$

όπου το Πρότυπο:Math αντιπροσωπεύει το σύνολο Πρότυπο:Math και το $d^n𝐱$ είναι το Πρότυπο:Mvar-διάστατο διαφορικό του όγκου.

Το ολοκλήρωμα Ρίμαν μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα φραγμένο σύνολο Πρότυπο:Mvar διαστάσεων μπορεί να οριστεί επεκτείνοντας το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε ένα ημιανοικτό ορθογώνιο με τιμές μηδενικές εκτός του πεδίου ορισμού της αρχικής συνάρτησης. Τότε, το ολοκλήρωμα της αρχικής συνάρτησης πάνω στο αρχικό χωρίο ορίζεται ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης με το επεκταμένο πεδίο ορισμού πάνω στο ορθογώνιο χωρίο της, εάν υπάρχει.

Για το υπόλοιπο του λήμμματος το ολοκλήρωμα Ρίμαν Πρότυπο:Mvar διαστάσεων θα αποκαλείται πολλαπλό ολοκλήρωμα.

Ιδιότητες

Τα πολλαπλά ολοκληρώματα έχουν πολλές από τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μίας μεταβλητής (γραμμικότητα, αντιμεταθετικότητα, μονοτονία, κ.α.). Μια σημαντική ιδιότητα των πολλαπλών ολοκληρωμάτων είναι το ότι αν το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης είναι πεπερασμένο, η τιμή του πολλαπλού ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη της σειράς ολοκλήρωσης. Αυτή η ιδιότητα είναι ευρέως γνωστή ως θεώρημα Φουμπίνι.

Ιδιαίτερες περιπτώσεις

Στην περίπτωση που Πρότυπο:Nowrap το ολοκλήρωμα

$l=\underset{T}{\iint }f(x,y)dxdy$

είναι το διπλό ολοκλήρωμα της Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar, και αν $T\subseteq {ℝ}^3$ το ολοκλήρωμα

$l=\underset{T}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

είναι το τριπλό ολοκλήρωμα της Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar .

Σημειωτέον ότι, κατά σύμβαση, το διπλό ολοκλήρωμα έχει δύο σύμβολα ολοκλήρωσης και το τριπλό τρία· ο συμβολισμός αυτός χρησιμεύει στον υπολογισμό ενός επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος με διαδοχικές ολοκληρώσεις από το «εσώτερο» προς το «εξώτερο».

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η επίλυση προβλημάτων με πολλαπλά ολοκληρώματα βασίζεται στην αναγωγή του πολλαπλού ολοκληρώματος σε ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, μια σειρά από ολοκληρώματα της μίας μεταβλητής, καθένα εκ των οποίων είναι άμεσα επιλύσιμο. Σπανιότερα, το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορεί να προκύψει αμεσότερα, χωρίς επιμέρους υπολογισμούς. Ακολουθούν μερικές απλές μέθοδοι ολοκλήρωσης:

Ολοκλήρωση σταθερών συναρτήσεων

Όταν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι μια σταθερά Πρότυπο:Mvar, το ολοκλήρωμα ισούται με το γινόμενο του Πρότυπο:Mvar επί το μέτρο του χωρίου ολοκλήρωσης. Αν Πρότυπο:Math και το χωρίο είναι υποπεριοχή του Πρότυπο:Math, το ολοκλήρωμα δίνει το εμβαδόν της περιοχής, ενώ αν το χωρίο είναι υποπεριοχή του Πρότυπο:Math, το ολοκλήρωμα δίνει τον όγκο της περιοχής.

Παράδειγμα. Έστω Πρότυπο:Math και

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:2\le x\le 4{}_{,}3\le y\le 6\}$

στην οποία περίπτωση

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}2dxdy=2\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=2\cdot \mathrm{area}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,$

αφού, εξ ορισμού, έχουμε:

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=\mathrm{area}(D).$

Χρήση συμμετρίας

Όταν το χωρίο ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων με αυτό να ισχύει για μία, τουλάχιστον, εκ των μεταβλητών ολοκλήρωσης και, περαιτέρω, το ολοκλήρωμα είναι περιττό ως προς αυτή τη μεταβλητή, τότε το ολοκλήρωμα ισούται με το 0, καθώς τα ολοκληρώματα πάνω στα δύο μισά του χωρίου έχουν ίσες απόλυτες τιμές αλλά αντίθετα πρόσημα. Αν το ολοκλήρωμα είναι άρτιο σε σχέση με αυτή τη μεταβλητή, τότε ισούται με το διπλάσιο του ολοκληρώματος πάνω στο μισό του χωρίου, καθώς τα ολοκληρώματα πάνω στα δύο μισά του τομέα είναι ίσα.

Παράδειγμα 1. Έστω συνάρτηση Πρότυπο:Math ολοκληρωμένη στο χωρίο

$T=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2\le 1\},$

ένας δίσκος με ακτίνα 1 με το κέντρο του στην αρχή των αξόνων και με το όριό του να συμπεριλαμβάνεται.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας, το ολοκλήρωμα μπορεί να χωριστεί σε τρία κομμάτια:

$\underset{T}{\iint }(2\sin x-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }2\sin xdxdy-\underset{T}{\iint }3y^{3}dxdy+\underset{T}{\iint }5dxdy$

Η συνάρτηση Πρότυπο:Math είναι περιττή συνάρτηση ως προς τη μεταβλητή Πρότυπο:Mvar και ο δίσκος Πρότυπο:Mvar είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar, άρα η τιμή του πρώτου ολοκληρώματος ισούται με το 0. Ομοίως, η συνάρτηση Πρότυπο:Math είναι περιττή συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar, και το Πρότυπο:Mvar είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar, συνεπώς στο τελικό αποτέλεσμα συνεισφέρει μόνον το τρίτο ολοκλήρωμα. Επομένως, το αρχικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν του δίσκου επί 5, ή 5 Πρότυπο:Pi .

Παράδειγμα 2. Έστω η συνάρτηση Πρότυπο:Math με περιοχή ολοκλήρωσης τη μπάλα με ακτίνα 2 και κέντρο την αρχή των αξόνων,

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2+z^2\le 4\}.$

Η μπάλα είναι συμμετρική και ως προς τους τρεις άξονες, ωστόσο αρκεί η ολοκλήρωση ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar για να δειχτεί ότι το ολοκλήρωμα ισούται με το 0, καθώς η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιττή συνάρτηση αυτής της μεταβλητής.

Κανονικά χωρία στον Πρότυπο:Math

Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε χωρίο Πρότυπο:Mvar για το οποίο:

• η προβολή του Πρότυπο:Mvar στον άξονα Πρότυπο:Mvar ή στον άξονα Πρότυπο:Mvar φράσσεται από δύο τιμές Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar
• οποιαδήποτε ευθεία κάθετη σε αυτόν τον άξονα και διερχόμενη μεταξύ αυτών των δύο τιμών τέμνει το χωρίο σε ένα διάστημα του οποίου τα άκρα δίνονται από τα γραφήματα δύο συναρτήσεων, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar .

Ένα τέτοιο χωρίο θα ονομάζεται στο παρόν λήμμα κανονικό χωρίο. Στη μαθηματική βιβλιογραφία, τα κανονικά χωρία ονομάζονται και χωρία/περιοχές τύπου Ι ή τύπου ΙΙ, ανάλογα με τον άξονα. Σε όλες τις περιπτώσεις, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση πρέπει να είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη στο χωρίο, κάτι που ισχύει, για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση είναι συνεχής.

Άξονας των Πρότυπο:Mvar

Έστω το κανονικό ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar χωρίο Πρότυπο:Mvar και η συνεχής συνάρτηση Πρότυπο:Math. Οι Πρότυπο:Math και η Πρότυπο:Math, αμφότερες ορισμένες στο διάστημα Πρότυπο:Math, είναι οι δύο συναρτήσεις που καθορίζουν το Πρότυπο:Mvar και με το θεώρημα Φουμπίνι:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{\alpha (x)}{\overset{\beta (x)}{\int }}f(x,y)dy.$

Άξονας των Πρότυπο:Mvar

Αν το Πρότυπο:Mvar είναι κανονικό ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Math είναι μια συνεχής συνάρτηση, τότε οι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, αμφότερες ορισμένες στο διάστημα Πρότυπο:Math, είναι οι δύο συναρτήσεις που καθορίζουν το Πρότυπο:Mvar. Και πάλι, από το θεώρημα Φουμπίνι:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dy\underset{\alpha (y)}{\overset{\beta (y)}{\int }}f(x,y)dx.$

Κανονικά χωρία στον Πρότυπο:Math

Εάν το Πρότυπο:Mvar είναι ένα κανονικό ως προς το επίπεδο Πρότυπο:Mvar χωρίο που προσδιορίζεται από τις συναρτήσεις Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, τότε

$\underset{T}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }\underset{\alpha (x,y)}{\overset{\beta (x,y)}{\int }}f(x,y,z)dzdxdy$

Ο ορισμός αυτός είναι ο ίδιος για τις άλλες πέντε περιπτώσεις κανονικότητας στον Πρότυπο:Math και μπορεί να γενικευτεί με απλό τρόπο σε χωρία στον Πρότυπο:Math.

Παραδείγματα

Διπλό ολοκλήρωμα πάνω σε ορθογώνιο

Έστω ότι θέλουμε να ολοκληρώσουμε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών Πρότυπο:Mvar σε μια περιοχή Πρότυπο:Mvar:

$A=\{(x,y)\in {𝐑}^2:11\le x\le 14;7\le y\le 10\}\text{ and }f(x,y)=x^2+4y$

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα

$\underset{7}{\overset{10}{\int }}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dxdy$

Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα ολοκληρώνοντας ως προς το Πρότυπο:Mvar και λαμβάνοντας το Πρότυπο:Mvar ως σταθερά, καθώς δεν είναι η μεταβλητή της ολοκλήρωσης:

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dx& ={[\frac{1}{3}{x}^3+4yx]}_{x=11}^{x=14}\\ & =\frac{1}{3}(14{)}^3+4y(14)-\frac{1}{3}(11{)}^3-4y(11)\\ & =471+12y\end{array}$

Εν συνεχεία, ολοκληρώνουμε ως προς το Πρότυπο:Mvar το αποτέλεσμα αυτού του ολοκληρώματος (που συνιστά συνάρτηση μόνο του Πρότυπο:Mvar):

$\begin{array}{cc}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(471+12y)dy& =[471y+6y^2{]}_{y=7}^{y=10}\\ & =471(10)+6(10{)}^2-471(7)-6(7{)}^2\\ & =1719\end{array}$

Σύμφωνα με το θεώρημα Φουμπίνι, σε περιπτώσεις οπότε το διπλό ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της συνάρτησης είναι πεπερασμένο, η σειρά ολοκλήρωσης είναι εναλλάξιμη, δηλαδή το να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς το x και το να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς το y δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας το προηγούμενο ολοκλήρωμα με αντίστροφη παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα:

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(x^2+4y)dydx& =\underset{11}{\overset{14}{\int }}[x^{2}y+2y^2{]}_{y=7}^{y=10}dx\\ & =\underset{11}{\overset{14}{\int }}(3x^2+102)dx\\ & =[x^3+102x{]}_{x=11}^{x=14}\\ & =1719.\end{array}$

Διπλό ολοκλήρωμα σε ένα κανονικό χωρίο

Παράδειγμα κανονικού χωρίου D

Έστω η περιοχή της εικόνας:

$D=\{(x,y)\in {𝐑}^2:x\ge 0,y\le 1,y\ge x^2\}$

Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος:

$\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy$

Αυτό το χωρίο είναι κανονικό ως προς τους άξονες x και y. Για την εφαρμογή των τύπων απαιτείται η εύρεση των συναρτήσεων που καθορίζουν το D και των διαστημάτων στα οποία ορίζονται αυτές οι συναρτήσεις. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο συναρτήσεις είναι οι:

$\alpha (x)=x^2{\text{και}}_{}\beta (x)=1$

ενώ το διάστημα δίνεται από τις τομές των συναρτήσεων με την x = 0, άρα είναι το [a, b] = [0, 1] —η κανονικότητα έχει επιλεγεί ως προς τον άξονα x για καλύτερη οπτικοποίηση του παραδείγματος.

Τώρα είναι δυνατή η εφαρμογή του τύπου:

$\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{x^2}{\overset{1}{\int }}(x+y)dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx{[xy+\frac{y^2}{2}]}_{x^2}^1$

(πρωτίστως υπολογίζουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα θεωρώντας το x ως σταθερά). Για τους υπόλοιπους υπολογισμούς εφαρμόζουμε τις βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[xy+\frac{y^2}{2}]}_{x^2}^{1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+\frac{1}{2}-x^3-\frac{x^4}{2})dx=\cdots =\frac{13}{20}.$

Για κανονικότητα ως προς τον άξονα y υπολογίζουμε το:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\sqrt{y}}{\int }}(x+y)dx.$

και λαμβάνουμε την ίδια τιμή.

Παράδειγμα χωρίου στον R³ που είναι κανονικό σε σχέση με το επίπεδο xy.

Υπολογισμός όγκου

Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που περιγράφηκαν προηγουμένως, είναι δυνατός ο υπολογισμός των όγκων ορισμένων κοινών στερεών.

• Κύλινδρος : Ο όγκος ενός κυλίνδρου ύψους Πρότυπο:Mvar και βάσης ακτίνας Πρότυπο:Mvar υπολογίζεται με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης Πρότυπο:Mvar πάνω στον δίσκο της βάσης, χρήσει πολικών συντεταγμένων.

$\text{Όγκος}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}h\rho d\rho =2\pi h{\left[\frac{{\rho }^2}{2}\right]}_0^R=\pi R^{2}h$

σε συμφωνία με τον τύπο υπολογισμού του όγκου πρίσματος:

$\text{Όγκος}=\text{εμβαδόν βάσης}\times \text{ύψος}.$

• Σφαίρα: Ο όγκος μιας σφαίρας ακτίνας Πρότυπο:Mvar μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης 1 πάνω στη σφαίρα, χρήσει σφαιρικών συντεταγμένων:

$\begin{array}{cc}\text{Volume}& =\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz\\ & =\underset{D}{\iiint }1dV\\ & =\underset{S}{\iiint }{\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi \\ & =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{\rho }^{2}d\rho \\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{\rho }^{2}d\rho \\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi \frac{R^3}{3}d\phi \\ & =\frac{2}{3}\pi R^3[-\cos \phi {]}_0^{\pi }=\frac{4}{3}\pi R^3.\end{array}$

• Τετράεδρο (πχ τριγωνική πυραμίδα): Ο όγκος ενός τετραέδρου με κορυφή στην αρχή των αξόνων και ακμές μήκους Πρότυπο:Mvar κατά μήκος των αξόνων Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης 1 πάνω στο τετράεδρο:

$\begin{array}{cc}\text{Volume}& =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}dx\underset{0}{\overset{\ell -x}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\ell -x-y}{\int }}dz\\ & =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}dx\underset{0}{\overset{\ell -x}{\int }}(\ell -x-y)dy\\ & =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}(l^2-2\ell x+x^2-\frac{(\ell -x{)}^2}{2})dx\\ & ={\ell }^3-\ell {\ell }^2+\frac{{\ell }^3}{3}-{[\frac{{\ell }^{2}x}{2}-\frac{\ell x^2}{2}+\frac{x^3}{6}]}_0^{\ell }\\ & =\frac{{\ell }^3}{3}-\frac{{\ell }^3}{6}=\frac{{\ell }^3}{6}\end{array}$

σε συμφωνία με τον τύπο υπολογισμού του όγκου πυραμίδας:

$\text{Όγκος}=\frac{1}{3}\times \text{εμβαδόν βάσης}\times \text{ύψος}=\frac{1}{3}\times \frac{{\ell }^2}{2}\times \ell =\frac{{\ell }^3}{6}.$

Παράδειγμα μη κατάλληλου τομέα.

Πολλαπλά ολοκληρώματα και επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα

Κατά το θεώρημα Φουμπίνι αν

$\underset{A\times B}{\iint }|f(x,y)|d(x,y)<\mathrm{\infty },$

εάν, δηλαδή, το ολοκλήρωμα είναι απολύτως συγκλίνον, τότε το πολλαπλό ολοκλήρωμα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με οποιοδήποτε εκ των δύο επαναλαμβανομένων ολοκληρωμάτων:

$\underset{A\times B}{\iint }f(x,y)d(x,y)=\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)dy)dx=\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)dx)dy.$

Ειδικότερα, αυτό ισχύει εάν η Πρότυπο:Math είναι μια φραγμένη συνάρτηση και τα Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι πεπερασμένα σύνολα.

Εάν το ολοκλήρωμα δεν είναι απολύτως συγκλίνον, δεν θα πρέπει να συγχέονται οι έννοιες του πολλαπλού και του επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος, ειδικά εφόσον ο ίδιος συμβολισμός χρησιμοποιείται συχνά για καθεμία εκ των εννοιών. Ο συμβολισμός

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x,y)dydx$

σημαίνει, σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα και όχι ένα πραγματικό διπλό ολοκλήρωμα. Σε ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, το εξωτερικό ολοκλήρωμα

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots dx$

είναι το ολοκλήρωμα ως προς το Πρότυπο:Mvar της ακόλουθης συνάρτησης του Πρότυπο:Mvar:

$g(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x,y)dy.$

Περαιτέρω, ένα διπλό ολοκλήρωμα ορίζεται ως προς κάποια περιοχή στο επίπεδο Πρότυπο:Mvar. Εάν το διπλό ολοκλήρωμα υπάρχει, τότε είναι ίσο με καθένα από τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα, είτε με το «Πρότυπο:Mvar» είτε με το «Πρότυπο:Mvar», και συχνά υπολογίζεται προσδιορίζοντας την τιμή ενός εκ των δύο επαναλαμβανομένων ολοκληρωμάτων. Μερικές φορές τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα υπάρχουν παρότι το διπλό ολοκλήρωμα δεν υπάρχει, και σε ορισμένες εξ αυτών των περιπτώσεων τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα διαφέρουν, δηλαδή, για το ένα ισχύει ότι:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x,y)dydx\ne \underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x,y)dxdy.$

Αυτή συνιστά μια περίπτωση αναδιάταξης ενός κατά συνθήκη συγκλίνοντος ολοκληρώματος.

Εντούτοις, υπάρχουν ορισμένες συνθήκες βάσει των οποίων τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να είναι ίσα, χωρίς να υπάρχει το διπλό ολοκλήρωμα. Κατά το θεώρημα Φίχτενχολτζ – Λιχτενστάιν, αν η Πρότυπο:Mvar είναι φραγμένη στο Πρότυπο:Math και υπάρχουν και τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα, τότε είναι ίσα. Επιπλέον, η ύπαρξη των εσωτερικών ολοκληρωμάτων διασφαλίζει την ύπαρξη των εξωτερικών ολοκληρωμάτων. Σύμφωνα με τον Σιερπίνσκι, σε αυτήν την περίπτωση το διπλό ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να υπάρχει, ακόμη και ως ολοκλήρωμα Λεμπέγκ.

Ο συμβολισμός:

$\underset{[0,1]\times [0,1]}{\int }f(x,y)dxdy$

μπορεί να χρησιμοποιηθεί προς πλήρη διευκρίνιση του ότι το ολοκλήρωμα είναι διπλό κι όχι επαναλαμβανόμενο.

Πρακτικές εφαρμογές

Όπως και το ολοκληρωμα μίας μεταβλητής, το πολλαπλό ολοκλήρωμα χρησιμεύει στην εύρεση του μέσου όρου μιας συνάρτησης πάνω σε ένα δεδομένο σύνολο. Έστω ένα σύνολο Πρότυπο:Math και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση Πρότυπο:Mvar πάνω στο Πρότυπο:Mvar. Τότε, η μέση τιμή της Πρότυπο:Mvar πάνω στο πεδίο ορισμού της δίνεται από τον τύπο:

$\overline{f}=\frac{1}{m(D)}\underset{D}{\int }f(x)dx,$

όπου Πρότυπο:Math το μέτρο του Πρότυπο:Mvar.

Επιπλέον, τα πολλαπλά ολοκληρώματα έχουν πολλές εφαρμογές στη Φυσική. Επί παραδείγματι, στη μηχανική η ροπή αδράνειας υπολογίζεται ως το τριπλό ολοκλήρωμα του γινομένου της πυκνότητας με το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα:

$I_z=\underset{V}{\iiint }\rho r^{2}dV.$

Το βαρυτικό δυναμικό που σχετίζεται με μια κατανομή μάζας ενός μέτρου μάζας Πρότυπο:Mvar στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο Πρότυπο:Math δίνεται ως:

$V(𝐱)=-\underset{{𝐑}^3}{\iiint }\frac{G}{|𝐱-𝐲|}dm(𝐲).$

για μια συνεχή συνάρτηση $\rho (𝐱)$ που αντιπροσωπεύει την πυκνότητα της κατανομής στο Πρότυπο:Math, ούτως ώστε $dm(𝐱)=\rho (𝐱)\cdot d^3(𝐱)$, με το $d^3(𝐱)$ να είναι ο στοιχειώδης Ευκλείδειος όγκος. Τότε, το βαρυτικό δυναμικό ισούται με:

$V(𝐱)=-\underset{{𝐑}^3}{\iiint }\frac{G}{|𝐱-𝐲|}\rho (𝐲)d^3𝐲$

Στον ηλεκτρομαγνητισμό, οι εξισώσεις Μάξγουελ μπορούν να γραφούν χρήσει πολλαπλών ολοκληρωμάτων για τον υπολογισμό των συνολικών μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων. Στο ακόλουθο παράδειγμα, το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από μια κατανομή φορτίων πυκνότητας ανά μονάδα όγκου $\rho (\overrightarrow{r})$ δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης:

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{{\Vert \overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }\Vert }^3}\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }.$

Περαιτέρω βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 (στα αγγλικά): OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-50669-805-2. (PDF)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• G. Strang, E. Herman, Multiple Integration (στα αγγλικά), Libretexts maths
• Υπολογιστής διπλών ολοκληρωμάτων, Wolfram Alpha
• Υπολογιστής τριπλών ολοκληρωμάτων, Symbolab