Εξίσωση Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, στον τομέα της θεωρίας ελέγχου, η εξίσωση Συλβέστερ είναι μια εξίσωση πίνακα της μορφής:

$AX+XB=C.$

Πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ. Στη συνέχεια, δεδομένων των πινάκων A, B και C, το πρόβλημα είναι να βρεθούν οι πιθανοί πίνακες X που συμμορφώνονται με αυτή την εξίσωση. Υποθέτουμε ότι όλοι οι πίνακες έχουν συντελεστές στους μιγαδικούς αριθμούς. Για να έχει νόημα η εξίσωση, οι πίνακες πρέπει να έχουν κατάλληλα μεγέθη, για παράδειγμα θα μπορούσαν να είναι όλοι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου μεγέθους. Αλλά γενικότερα, οι A και B πρέπει να είναι τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n και m αντίστοιχα, και τότε οι X και C έχουν και οι δύο n γραμμές και m στήλες.

Μια εξίσωση Συλβέστερ έχει μοναδική λύση για το Χ ακριβώς όταν δεν υπάρχουν κοινές ιδιοτιμές των Α και Β. Γενικότερα, η εξίσωση AX + XB = C έχει θεωρηθεί ως εξίσωση περιορισμένων τελεστών σε έναν (ενδεχομένως απειροδιάστατο) χώρο Μπάναχ. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη για τη μοναδικότητα μιας λύσης X είναι σχεδόν η ίδια: Υπάρχει μια μοναδική λύση X ακριβώς όταν τα φάσματα των A και -B είναι ξένα μεταξύ τους.

Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του γινομένου Κρόνεκερ και τον τελεστή διανυσματοποίησης $\mathrm{vec}$, μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση του Συλβέστερ στη μορφή

$(I_m\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C,$

όπου $A$ είναι διάστασης $n\times n$, $B$ είναι διάστασης $m\times m$, $X$ διάστασης $n\times m$ και $I_k$ είναι ο $k\times k$ Ταυτοτικός πίνακας. Σε αυτή τη μορφή, η εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γραμμικό σύστημα διάστασης $mn\times mn$.

Θεώρημα. Δίνονται οι πίνακες $A\in {ℂ}^{n\times n}$ και $B\in {ℂ}^{m\times m}$, η εξίσωση Συλβέστερ $AX+XB=C$ έχει μοναδική λύση $X\in {ℂ}^{n\times m}$ για κάθε $C\in {ℂ}^{n\times m}$ αν και μόνο αν $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή.

Απόδειξη. Η εξίσωση $AX+XB=C$ είναι ένα γραμμικό σύστημα με $mn$ αγνώστους και τον ίδιο αριθμό εξισώσεων. Επομένως είναι μοναδικά επιλύσιμη για κάθε δεδομένο $C$ αν και μόνο αν η ομογενής εξίσωση $AX+XB=0$ δέχεται μόνο την τετριμμένη λύση $0$.

(i) Ας υποθέσουμε ότι οι $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή. Έστω $X$ μια λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης. Τότε $AX=X(-B)$, η οποία μπορεί να ανυψωθεί σε $A^{k}X=X(-B{)}^k$ f για κάθε $k\ge 0$ με μαθηματική επαγωγή. Κατά συνέπεια, $p(A)X=Xp(-B)$ για οποιοδήποτε πολυώνυμο $p$. Ειδικότερα, έστω $p$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$. Τότε $p(A)=0$ λόγω του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον- εν τω μεταξύ, το θεώρημα φασματικής απεικόνισης μας λέει ότι $\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B)),$ όπου $\sigma (\cdot )$ δηλώνει το φάσμα ενός πίνακα. Εφόσον οι $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, το $p(\sigma (-B))$ δεν περιέχει μηδέν, και επομένως το $p(-B)$ είναι μη-ιδιάζον. Συνεπώς, $X=0$ όπως είναι επιθυμητό. Αυτό αποδεικνύει το μέρος «αν» του θεωρήματος.

(ii) Υποθέστε τώρα ότι οι $A$ και $-B$ έχουν κοινή ιδιοτιμή $\lambda$. Έστω $u$ ένα αντίστοιχο δεξιό ιδιοδιάνυσμα για το $A$, $v$ ένα αντίστοιχο αριστερό ιδιοδιάνυσμα για το $-B$, και $X=u{v}^{*}$. Τότε $X\ne 0$, και $AX+XB=A(u{v}^{*})-(u{v}^{*})(-B)=\lambda u{v}^{*}-\lambda u{v}^{*}=0.$ Επομένως, το $X$ είναι μια μη τετριμμένη λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης, δικαιολογώντας το μέρος «μόνο αν» του θεωρήματος. Q.E.D.

Ως εναλλακτική λύση στο θεώρημα φασματικής απεικόνισης, η μη ιδιάζουσα του $p(-B)$ στο μέρος (i) της απόδειξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί από την ταυτότητα του Μπεζού για τα συντριπτικά πολυώνυμα. Έστω $q$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $-B$. Εφόσον τα $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, τα $p$ και $q$ είναι συντριπτά. Επομένως υπάρχουν πολυώνυμα $f$ και $g$ τέτοια ώστε $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$. Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον-, $q(-B)=0$. Επομένως $p(-B)f(-B)=I$, που σημαίνει ότι $p(-B)$ είναι μη-ιδιάζον.

Το θεώρημα παραμένει αληθές για πραγματικούς πίνακες με την επιφύλαξη ότι εξετάζονται οι μιγαδικές ιδιοτιμές τους. Η απόδειξη για το μέρος «αν» εξακολουθεί να ισχύει- για το μέρος «μόνο αν», σημειώστε ότι τόσο το $\mathrm{R}\mathrm{e}(u{v}^{*})$ όσο και το $\mathrm{I}\mathrm{m}(u{v}^{*})$ ικανοποιούν την ομογενή εξίσωση $AX+XB=0$, και δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα μηδέν.

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ

Δίνονται δύο τετραγωνικοί σύνθετοι πίνακες A και B, μεγέθους n και m, και ένας πίνακας C μεγέθους n επί m, τότε μπορεί κανείς να ρωτήσει πότε οι ακόλουθοι δύο τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n + m είναι παρόμοιοι μεταξύ τους: $\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$ και $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$. Η απάντηση είναι ότι αυτοί οι δύο πίνακες είναι παρόμοιοι ακριβώς όταν υπάρχει ένας πίνακας X τέτοιος ώστε AX - XB = C. Με άλλα λόγια, ο X είναι λύση μιας εξίσωσης του Συλβέστερ. Αυτό είναι γνωστό ως κανόνας αφαίρεσης του Ροθ.

Ελέγχεται εύκολα η μία κατεύθυνση: Εάν AX - XB = C τότε

$\left[\begin{array}{cc}{I}_n& X\\ 0& I_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_n& -X\\ 0& I_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right].$

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ δεν γενικεύεται σε απειροδιάστατους δεσμευμένους τελεστές σε ένα χώρο Μπάναχ. Παρόλα αυτά, ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ γενικεύεται στα συστήματα εξισώσεων Συλβέστερ.

Αριθμητικές λύσεις

Ένας κλασικός αλγόριθμος για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Συλβέστερ είναι ο αλγόριθμος Μπάρτελς-Στιούαρτ, ο οποίος συνίσταται στη μετατροπή των $A$ και $B$ σε μορφή Schur μέσω ενός αλγορίθμου QR και στη συνέχεια στην επίλυση του τριγωνικού συστήματος που προκύπτει μέσω αντίστροφης αντικατάστασης. Αυτός ο αλγόριθμος, του οποίου το υπολογιστικό κόστος είναι $𝒪(n^3)$ αριθμητικές πράξεις, χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, από το LAPACK και τη συνάρτηση lyap στο GNU Octave Δείτε επίσης τη συνάρτηση Συλβέστερ στην εν λόγω γλώσσα.. Σε ορισμένες συγκεκριμένες εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας, η παραγόμενη εξίσωση Συλβέστερ έχει λύση κλειστής μορφής.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Φυσικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Διάνυσμα
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ταυτοτικός πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
• Introduction to Numerical Analysis
• Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control
• Matrix and Operator Equations and Applications
• Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).