Ιαπωνικό θεώρημα

Οι εγγγεγραμμένοι κύκλοι $({\mathrm{I}}_1,{\rho }_1$, $({\mathrm{I}}_2,{\rho }_2)$, $({\mathrm{I}}_3,{\rho }_3)$, $({\mathrm{I}}_4,{\rho }_4)$ των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{A}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Στην γεωμετρία, το Ιαπωνικό θεώρημα για εγγεγραμμένα τετράπλευρα λέει ότι σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ για τις ακτίνες ${\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3,{\rho }_4$ των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{A}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}$ ισχύει ότιΠρότυπο:Rp

${\rho }_1+{\rho }_3={\rho }_2+{\rho }_4$.

Για εγγεγραμμένα πολύγωνα

Πρότυπο:Multiple image Το θεώρημα γενικεύεται για εγγεγραμμένα πολύγωνα, όπου οποιοσδήποτε τριγωνισμός του πολυγώνου δίνει το ίδιο άθροισμα ακτινών των εγγεγραμμένων τους κύκλων.

Αυτή η γενίκευση μπορεί να αποδειχτεί με μία τροποποίηση της παραπάνω απόδειξης. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τρίγωνο ${\mathrm{A}}_i{\mathrm{B}}_i{\mathrm{\Gamma }}_i$ εφαρμόζουμε το θεώρημα Καρνό και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Κάθε όρος ${\mathrm{O}\mathrm{M}}_j$ όπου ${\mathrm{M}}_j$ το μέσο μίας διαγωνίου εμφανίζεται μία φορά με αρνητικό πρόσιμο και μία με θετικό, άρα απαλοίφεται από το άθροισμα. Εν αντιθέσει, κάθε όρος ${\mathrm{O}\mathrm{M}}_j$ όπου ${\mathrm{M}}_j$ το μέσο μίας πλευράς εμφανίζεται μία φορά στο άθροισμα και κάθε φορά με το ίδιο πρόσιμο $s_i$. Επομένως, το άθροισμα είναι ίσο με

$\sum _{i=1}^{n-1}{\rho }_i=\sum _{i=1}^n{s}_i\cdot {\mathrm{O}\mathrm{M}}_i-(n-1)\cdot R$,

και ανεξάρτητο του τριγωνισμού.

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)