Πίνακας Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Συλβέστερ^[1] είναι ένας πίνακας που σχετίζεται με δύο μονομεταβλητά πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα σώμα ή έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Οι καταχωρήσεις του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων. Η ορίζουσα του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι η συνισταμένη^[2] τους, η οποία είναι μηδέν όταν τα δύο πολυώνυμα έχουν κοινή ρίζα (στην περίπτωση συντελεστών σε σώμα) ή μη σταθερό κοινό διαιρέτη (στην περίπτωση συντελεστών σε ένα σώμα).

Οι πίνακες Συλβέστερ πήραν το όνομά τους από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ.^[3]

Ορισμός

Έστω p και q δύο μη μηδενικά πολυώνυμα, αντίστοιχα βαθμού m και n. Συνεπώς:^[4]

p (z) = p_{0} + p_{1} z + p_{2} z^{2} + \dots + p_{m} z^{m}, q (z) = q_{0} + q_{1} z + q_{2} z^{2} + \dots + q_{n} z^{n} .

Ο πίνακας Συλβέστερ που σχετίζεται με τα p και q είναι τότε ο $(n + m) \times (n + m)$ πίνακας που κατασκευάζεται ως εξής:

αν n > 0, η πρώτη σειρά είναι:

(\begin{matrix} p_{m} & p_{m - 1} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

η δεύτερη σειρά είναι η πρώτη σειρά, μετατοπισμένη κατά μία στήλη προς τα δεξιά- το πρώτο στοιχείο της σειράς είναι μηδέν.
οι επόμενες n − 2 σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, μετατοπίζοντας τους συντελεστές κατά μία στήλη προς τα δεξιά κάθε φορά και θέτοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς ως 0.
αν m > 0 η (n + 1)η γραμμή είναι:

(\begin{matrix} q_{n} & q_{n - 1} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

οι ακόλουθες σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

S_{p, q} = (\begin{matrix} p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 & 0 \\ 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 \\ 0 & 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix}) .

Αν ένας από τους βαθμούς είναι μηδέν (δηλαδή το αντίστοιχο πολυώνυμο είναι ένα μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο), τότε υπάρχουν μηδενικές γραμμές που αποτελούνται από συντελεστές του άλλου πολυωνύμου και ο πίνακας Συλβέστερ είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης του βαθμού του μη σταθερού πολυωνύμου, με όλους τους διαγώνιους συντελεστές ίσους με το σταθερό πολυώνυμο. Αν m = n = 0, τότε ο πίνακας Συλβέστερ είναι ο άδειος πίνακας με μηδέν γραμμές και μηδέν στήλες.

Μία παραλλαγή

Ο παραπάνω πίνακας Συλβέστερ εμφανίζεται σε ένα δημοσίευμα του Συλβέστερ του 1840. Σε μια εργασία του 1853, ο Συλβέστερ εισήγαγε τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος είναι, μέχρι μια μετάθεση των γραμμών, ο πίνακας Συλβέστερ των p και q, οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν και οι δύο βαθμό max(m, n).^[5] Πρόκειται επομένως για έναν $2 \max (n, m) \times 2 \max (n, m)$ -πίνακα που περιέχει $\max (n, m)$ ζεύγη γραμμών. Υποθέτοντας $m > n,$ προκύπτει ως εξής:

το πρώτο ζεύγος είναι:

(\begin{matrix} p_{m} & p_{m - 1} & \dots & p_{n} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & q_{n} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

το δεύτερο ζεύγος είναι το πρώτο ζεύγος, μετατοπισμένο κατά μία στήλη προς τα δεξιά- τα πρώτα στοιχεία στις δύο σειρές είναι μηδενικά.
τα υπόλοιπα $m a x (n, m) - 2$ ζεύγη γραμμών προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

(\begin{matrix} p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix}) .

Η ορίζουσα του πίνακα 1853 είναι, μέχρι το πρόσημο, το γινόμενο της ορίζουσας του πίνακα Συλβέστερ (η οποία ονομάζεται συνισταμένη των p και q) επί $p_{m}^{m - n}$ (υποθέτοντας ότι $m \geq n$ ).

Εφαρμογές

Αυτοί οι πίνακες χρησιμοποιούνται στην αντιμεταθετική άλγεβρα, π.χ. για να ελεγχθεί αν δύο πολυώνυμα έχουν έναν (μη σταθερό) κοινό παράγοντα. Σε μια τέτοια περίπτωση, η ορίζουσα του σχετικού πίνακα Συλβέστερ (ο οποίος ονομάζεται συνισταμένη των δύο πολυωνύμων) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.) ισούται με μηδέν^[6]. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.

Οι λύσεις των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων

{S_{p, q}}^{T} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

όπου $x$ είναι ένα διάνυσμα μεγέθους $n$ και $y$ έχει μέγεθος $m$ , περιλαμβάνουν τα διανύσματα συντελεστών εκείνων και μόνο εκείνων των ζευγών $x, y$ πολυωνύμων (βαθμού $n - 1$ και $m - 1$ , αντίστοιχα) που ικανοποιούν

x (z) \cdot p (z) + y (z) \cdot q (z) = 0,

όπου χρησιμοποιείται πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του μετατοπισμένου πίνακα Συλβέστερ δίνει όλες τις λύσεις της εξίσωσης Μπεζού όπου $\deg x < \deg q$ και $\deg y < \deg p$ .

Συνεπώς, ο βαθμός του πίνακα Συλβέστερ καθορίζει τον βαθμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των p και q:

\deg (\gcd (p, q)) = m + n - rank S_{p, q} .

Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη μπορούν να εκφραστούν ως Ορίζουσες υποπινάκων του πίνακα Συλβέστερ.

Δημοσιεύσεις

Πρότυπο:Cite journal
Πρότυπο:Cite book
Πρότυπο:Cite journal
Πρότυπο:Cite journal
Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.Πρότυπο:ISBN
Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
Πρότυπο:Cite journal
Πρότυπο:Cite book
Πρότυπο:Cite book
Πρότυπο:Cite book
Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Πραγματικός αριθμός
Αντιερμιτιανός πίνακας
Δέλτα του Κρόνεκερ
Ταυτοτικός πίνακας
Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Πεπερασμένο σώμα
Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
Πολλαπλασιασμός πινάκων
Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014
↑ Πρότυπο:Cite journal

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[1] Πρότυπο:Cite book

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite web

[«amv2014»-5] Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014

[6] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Πίνακας Συλβέστερ

Περιεχόμενα

Ορισμός

Μία παραλλαγή

Εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Πίνακας Συλβέστερ

Ορισμός

Μία παραλλαγή

Εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση