Πίνακας Ζορντάν

Στον μαθηματικό κλάδο της θεωρίας πινάκων, ένας Πίνακας Ζορντάν, που πήρε το όνομά του από τον Καμίλ Ζορντάν, είναι ένας σύνθετος διαγώνιος πίνακας πάνω σε έναν δακτύλιο Πρότυπο:Mvar (του οποίου οι ταυτότητες είναι το μηδέν 0 και το ένα 1), όπου κάθε σύνθετος πίνακας κατά μήκος της διαγωνίου, που ονομάζεται σύνθετος πίνακας Ζορντάν, έχει την ακόλουθη μορφή:

$\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \lambda & 1\\ 0& 0& 0& 0& \lambda \end{array}\right].$

Ορισμός

Κάθε σύνθετος Ζορνταν καθορίζεται από τη διάστασή του n και την ιδιοτιμή του $\lambda \in R$, και συμβολίζεται ως Πρότυπο:Math. Είναι ένας $n\times n$ πίνακας μηδενικών παντού εκτός από τη διαγώνιο, η οποία είναι γεμάτη με $\lambda$ και για την υπερδιαγώνιο, η οποία αποτελείται από μονάδες.

Κάθε διαγώνιος πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι σύνθετα Ζορντάν ονομάζεται πίνακας Ζορντάν. Αυτός ο Πρότυπο:Math τετραγωνικός πίνακας, αποτελούμενος από Πρότυπο:Mvar διαγώνια σύνθετα, μπορεί να αναφερθεί συμπαγώς ως $J_{{\lambda }_1,n_1}\oplus \cdots \oplus J_{{\lambda }_r,n_r}$ ή $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(J_{{\lambda }_1,n_1},\dots ,J_{{\lambda }_r,n_r})$, όπου το i-th σύνθετα Ζορντάν είναι το Πρότυπο:Math.

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας

$J=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& i& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& i& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& i& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& i& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 7& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 7& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 7\end{array}\right]$

είναι ένας πίνακας Ζορντάν Πρότυπο:Math με ένα σύνθετο Πρότυπο:Math με ιδιοτιμή Πρότυπο:Math, δύο σύνθετα Πρότυπο:Math με ιδιοτιμή τη φανταστική μονάδα Πρότυπο:Mvar και ένα σύνθετο Πρότυπο:Math με ιδιοτιμή 7. Η δομή του σύνθτου Ζορντάν γράφεται είτε ως $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ είτε ως Πρότυπο:Math.

Γραμμική άλγεβρα

Κάθε Πρότυπο:Math τετραγωνικός πίνακας Πρότυπο:Mvar του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα Πρότυπο:Mvar είναι παρόμοιος με έναν πίνακα Ζορντάν Πρότυπο:Mvar, επίσης στο ${𝕄}_n(K)$, ο οποίος είναι μοναδικός μέχρι μια μεταβολή των ίδιων των διαγώνιων σύνθετών του. Ο Πρότυπο:Mvar ονομάζεται κανονική μορφή Ζορντάν του Πρότυπο:Mvar και αντιστοιχεί σε μια γενίκευση της διαδικασίας διαγωνοποίησης. Ένας διαγωνοποιήσιμος πίνακας είναι παρόμοιος, στην πραγματικότητα, με μια ειδική περίπτωση του πίνακα Ζορντάν: ο πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι όλα Πρότυπο:Mvar.

Γενικότερα, δεδομένου ενός πίνακα Ζορντάν $J=J_{{\lambda }_1,m_1}\oplus J_{{\lambda }_2,m_2}\oplus \cdots \oplus J_{{\lambda }_N,m_N}$, δηλαδή του οποίου το Πρότυπο:Mvar-th διαγώνιο σύνθετο, $1\le k\le N$, είναι το σύνθετο Ζορνταν Πρότυπο:Math και του οποίου τα διαγώνια στοιχεία ${\lambda }_k$ μπορεί να μην είναι όλα διακριτά, η γεωμετρική πολλαπλότητα του $\lambda \in K$ για τον πίνακα Πρότυπο:Mvar, που υποδεικνύεται ως ${\mathrm{gmul}}_J\lambda$, αντιστοιχεί στον αριθμό των σύνθετων Ζορντάν των οποίων η ιδιοτιμή είναι Πρότυπο:Math. Ενώ ο δείκτης μιας ιδιοτιμής $\lambda$ για τον Πρότυπο:Mvar, που υποδεικνύεται ως idx ${\mathrm{idx}}_J\lambda$, ορίζεται ως η διάσταση του μεγαλύτερου σύνθετου Ζορντάν που σχετίζεται με αυτή την ιδιοτιμή.

Το ίδιο ισχύει για όλους τους πίνακες Πρότυπο:Mvar που είναι παρόμοιοι με τον Πρότυπο:Mvar, οπότε ${\mathrm{idx}}_A\lambda$ μπορεί να οριστεί αναλόγως σε σχέση με την κανονική μορφή Ζορντάν του Πρότυπο:Mvar για οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές του $\lambda \in \mathrm{spec}A$. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί κανείς να ελέγξει ότι ο δείκτης του $\lambda$ για το Πρότυπο:Mvar είναι ίσος με την πολλαπλότητα του ως ρίζα του ελάχιστου πολυωνύμου του Πρότυπο:Mvar (ενώ, εξ ορισμού, η αλγεβρική πολλαπλότητα του για το Πρότυπο:Mvar, ${\mathrm{mul}}_A\lambda$, είναι η πολλαπλότητά της ως ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του Πρότυπο:Mvar, δηλαδή $\det (A-xI)\in K[x]$). Μια ισοδύναμη αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι το Πρότυπο:Mvar διαγωνοποιήσιμο στο Πρότυπο:Mvar είναι ότι όλες οι ιδιοτιμές του έχουν δείκτη ίσο με Πρότυπο:Math, δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυμό του έχει μόνο απλές ρίζες.

Ας σημειωθεί ότι η γνώση του φάσματος ενός πίνακα με όλες τις αλγεβρικές/γεωμετρικές πολλαπλότητες και τους δείκτες του δεν επιτρέπει πάντοτε τον υπολογισμό της κανονικής μορφής του Ζορντάν (αυτό μπορεί να είναι επαρκής συνθήκη μόνο για φασματικά απλούς, συνήθως χαμηλής διάστασης πίνακες). Πράγματι, ο προσδιορισμός της κανονικής μορφής Ζορντάν είναι γενικά ένα υπολογιστικά δύσκολο έργο. Από τη σκοπιά του διανυσματικού χώρου, η κανονική μορφή Ζορντάν ισοδυναμεί με την εύρεση μιας ορθογώνιας αποσύνθεσης (δηλαδή, μέσω άμεσων αθροισμάτων ιδιοχώρων που αναπαρίστανται από σύνθετο Ζορντάν) του πεδίου για το οποίο τα συσχετιζόμενα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα αποτελούν βάση.

Συναρτήσεις πινάκων

Έστω $A\in {𝕄}_n(ℂ)$ (δηλαδή ένας Πρότυπο:Math μιγαδικός πίνακας) και $C\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$ να είναι η αλλαγή του πίνακα βάσης στην κανονική μορφή Ζορντάν του Πρότυπο:Mvar, δηλαδή Πρότυπο:Math. Έστω τώρα Πρότυπο:Math μια ολομορφική συνάρτηση σε ένα ανοικτό σύνολο $\mathrm{\Omega }$ τέτοια ώστε $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A\subset \mathrm{\Omega }\subseteq ℂ$, δηλαδή, το φάσμα του πίνακα περιέχεται μέσα στην περιοχή της ολομορφίας της Πρότυπο:Mvar. Έστω

$f(z)=\sum _{h=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_h(z-z_0{)}^h$

να είναι το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς της Πρότυπο:Mvar γύρω από το $z_0\in \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{spec}A$, η οποία στο εξής υποτίθεται ότι είναι 0 για λόγους απλότητας. Ο πίνακας Πρότυπο:Math ορίζεται τότε μέσω της ακόλουθης τυπικής δυναμοσειράς

$f(A)=\sum _{h=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_h{A}^h$

και είναι απολύτως συγκλίνουσα ως προς την ευκλείδεια νόρμα του ${𝕄}_n(ℂ)$. Για να το θέσουμε αλλιώς, Πρότυπο:Math συγκλίνει απόλυτα για κάθε τετραγωνικό πίνακα του οποίου η φασματική ακτίνα είναι μικρότερη από την ακτίνα σύγκλισης του Πρότυπο:Mvar γύρω από το Πρότυπο:Math και είναι ομοιόμορφα συγκλίνουσα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του ${𝕄}_n(ℂ)$ που ικανοποιεί αυτή την ιδιότητα στην τοπολογία της ομάδας Λι του πίνακα.

Η κανονική μορφή Ζορντάν επιτρέπει τον υπολογισμό συναρτήσεων πινάκων χωρίς τον ρητό υπολογισμό μιας άπειρης σειράς, γεγονός που αποτελεί ένα από τα κύρια επιτεύγματα των πινάκων Ζορντάν. Με τη χρήση των δεδομένων ότι η Πρότυπο:Mvarth δύναμη ($k\in {\mathbb{N}}_0$) ενός διαγώνιου σύνθετου πίνακα είναι ο διαγώνιος σύνθετος πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι οι Πρότυπο:Mvarth δύναμη των αντίστοιχων σύνθετων, δηλαδή, Πρότυπο:Nowrap, και ότι Πρότυπο:Math, η παραπάνω δυναμοσειρά του πίνακα γίνεται

$f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\underset{k=1}{\overset{N}{⨁}}f\left(J_{{\lambda }_k,m_k}\right)\right)C$

όπου η τελευταία σειρά δεν χρειάζεται να υπολογιστεί ρητά μέσω δυναμοσειρών κάθε σύνθετο Ζορντάν. Στην πραγματικότητα, αν $\lambda \in \mathrm{\Omega }$, κάθε ολομορφική συνάρτηση ενός σύνθετου Ζορντάν $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ έχει μια πεπερασμένη δυναμοσειρά γύρω από το $\lambda I$ επειδή $Z^n=0$. Εδώ, το $Z$ είναι το μηδενικό μέρος του $J$ και το $Z^k$ έχει όλα τα 0 εκτός από τα 1 κατά μήκος της υπερδιαγωνίου $k^{\text{th}}$. Έτσι είναι ο ακόλουθος άνω τριγωνικός πίνακας:

$f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(\lambda )Z^k}{k!}=\left[\begin{array}{cccccc}f(\lambda )& f^{\prime }(\lambda )& \frac{f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}& \cdots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}& \frac{f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}\\ 0& f(\lambda )& f^{\prime }(\lambda )& \cdots & \frac{f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}& \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}\\ 0& 0& f(\lambda )& \cdots & \frac{f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}& \frac{f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & f(\lambda )& f^{\prime }(\lambda )\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& f(\lambda )\end{array}\right].$

Ως συνέπεια αυτού, ο υπολογισμός οποιασδήποτε συνάρτησης ενός πίνακα είναι απλός όποτε είναι γνωστή η κανονική του μορφή Ιορδάνη και ο πίνακας αλλαγής βάσης. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιώντας $f(z)=1/z$, η αντιστροφή του $J_{\lambda ,n}$ είναι:

$J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-Z{)}^k}{{\lambda }^{k+1}}=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }^{-1}& -{\lambda }^{-2}& {\lambda }^{-3}& \cdots & -(-\lambda {)}^{1-n}& -(-\lambda {)}^{-n}\\ 0& {\lambda }^{-1}& -{\lambda }^{-2}& \cdots & -(-\lambda {)}^{2-n}& -(-\lambda {)}^{1-n}\\ 0& 0& {\lambda }^{-1}& \cdots & -(-\lambda {)}^{3-n}& -(-\lambda {)}^{2-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & {\lambda }^{-1}& -{\lambda }^{-2}\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }^{-1}\end{array}\right].$

Επίσης, Πρότυπο:Math, δηλαδή, κάθε ιδιοτιμή $\lambda \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$ αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $f(\lambda )\in \mathrm{spec}f(A)$, αλλά έχει, γενικά, διαφορετική αλγεβρική πολλαπλότητα, γεωμετρική πολλαπλότητα και δείκτη. Ωστόσο, η αλγεβρική πολλαπλότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

${\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in \text{spec}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}{\text{mul}}_A\mu .$

Η συνάρτηση Πρότυπο:Math ενός γραμμικού μετασχηματισμού Πρότυπο:Mvar μεταξύ διανυσματικών χώρων μπορεί να οριστεί με παρόμοιο τρόπο σύμφωνα με τον ολομορφικό συναρτησιακό λογισμό, όπου οι θεωρίες των χώρων Μπάναχ και των επιφανειών Ρίμαν παίζουν θεμελιώδη ρόλο. Στην περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων, και οι δύο θεωρίες ταιριάζουν απόλυτα.

Δυναμικά συστήματα

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα (σύνθετο) δυναμικό σύστημα ορίζεται απλά από την εξίσωση

$\begin{array}{cc}\dot{𝐳}(t)& =A(𝐜)𝐳(t),\\ 𝐳(0)& ={𝐳}_0\in {ℂ}^n,\end{array}$

όπου $𝐳:{ℝ}_{+}\to ℛ$ είναι η (Πρότυπο:Mvar-διάστατη) παραμετροποίηση καμπύλης μιας τροχιάς στην επιφάνεια Ρίμαν $ℛ$ του δυναμικού συστήματος, ενώ Πρότυπο:Math είναι ένας Πρότυπο:Math σύνθετος πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι σύνθετες συναρτήσεις μιας Πρότυπο:Mvar-διάστατης παραμέτρου $𝐜\in {ℂ}^d$.

Ακόμη και αν $A\in {𝕄}_n\left({\mathrm{C}}^0\left({ℂ}^d\right)\right)$ (δηλαδή το Πρότυπο:Mvar εξαρτάται συνεχώς από την παράμετρο Πρότυπο:Math) η κανονική μορφή Ζορντάν του πίνακα παραμορφώνεται συνεχώς σχεδόν παντού στο ${ℂ}^d$ αλλά, γενικά, όχι παντού: υπάρχει κάποια κρίσιμη υποδιαστολή της ${ℂ}^d$ στην οποία η μορφή Ζορντάν αλλάζει απότομα τη δομή της κάθε φορά που η παράμετρος τη διασχίζει ή απλώς "ταξιδεύει" γύρω της (μονοδρομία). Τέτοιες αλλαγές σημαίνουν ότι πολλά σύνθετα Ζορντάν (είτε ανήκουν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είτε όχι) ενώνονται σε ένα μοναδικό σύνθετο Ζορντάν, ή το αντίστροφο (δηλαδή, ένα σύνθετο Ζορντάν διασπάται σε δύο ή περισσότερα διαφορετικά). Πολλές πτυχές της θεωρίας διακλάδωσης τόσο για συνεχή όσο και για διακριτά δυναμικά συστήματα μπορούν να ερμηνευθούν με την ανάλυση των λειτουργικών πινάκων Ζορντάν.

Από τη δυναμική του εφαπτόμενου χώρου, αυτό σημαίνει ότι η ορθογώνια αποσύνθεση του χώρου φάσεων του δυναμικού συστήματος αλλάζει και, για παράδειγμα, διαφορετικές τροχιές αποκτούν περιοδικότητα ή τη χάνουν ή μετατοπίζονται από ένα συγκεκριμένο είδος περιοδικότητας σε ένα άλλο (όπως ο διπλασιασμός περιόδου, βλ. λογιστικός χάρτης).

Σε μια πρόταση, η ποιοτική συμπεριφορά ενός τέτοιου δυναμικού συστήματος μπορεί να αλλάξει ουσιωδώς ως η πολύπλευρη παραμόρφωση της κανονικής μορφής Ζορντάν της Πρότυπο:Math.

Γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Το απλούστερο παράδειγμα ενός δυναμικού συστήματος είναι ένα σύστημα γραμμικών, με σταθερό συντελεστή, συνήθων διαφορικών εξισώσεων- δηλαδή, έστω $A\in {𝕄}_n(ℂ)$ και ${𝐳}_0\in {ℂ}^n$:

$\begin{array}{cc}\dot{𝐳}(t)& =A𝐳(t),\\ 𝐳(0)& ={𝐳}_0,\end{array}$

του οποίου η άμεση λύση σε κλειστή μορφή περιλαμβάνει τον υπολογισμό του εκθετικού πίνακα: $𝐳(t)=e^{tA}{𝐳}_0.$

Ένας άλλος τρόπος, υπό την προϋπόθεση ότι η λύση περιορίζεται στον τοπικό χώρο Λεμπέσκ των Πρότυπο:Mvar-διάστατων διανυσματικών σωμάτων

$𝐳\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1({ℝ}_{+}{)}^n$, είναι να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός Λαπλάς $𝐙(s)=ℒ[𝐳](s)$. Σε αυτή την περίπτωση

$𝐙(s)={(sI-A)}^{-1}{𝐳}_0.$

Η συνάρτηση του πίνακα Πρότυπο:Math ονομάζεται πίνακας επίλυσης του διαφορικού τελεστή $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-A$. Είναι μερομορφικός ως προς τη μιγαδική παράμετρο $s\in ℂ$ αφού τα στοιχεία του πίνακα είναι ρητές συναρτήσεις των οποίων ο παρονομαστής είναι ίσος για όλους με Πρότυπο:Math}. Οι πολικές ιδιάζουσες ιδιαιτερότητές του είναι οι ιδιοτιμές του Πρότυπο:Mvar, των οποίων η τάξη ισούται με τον δείκτη τους γι' αυτόν, δηλαδή ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{(A-sI{)}^{-1}}\lambda ={\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{x}}_A\lambda$.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Δέλτα του Κρόνεκερ
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Μετασχηματισμός Λαπλάς
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επιφάνεια Ρίμαν
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Matrices and Linear Transformations: Second Edition
• Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
• Birefringent Thin Films And Polarizing Elements

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation