Εικασία του Καταλάν

Από testwiki
Αναθεώρηση ως προς 19:52, 7 Φεβρουαρίου 2025 από τον imported>InternetArchiveBot (Διάσωση 1 πηγών και υποβολή 0 για αρχειοθέτηση.) #IABot (v2.0.9.5)
(διαφορά) ← Παλαιότερη αναθεώρηση | Τελευταία αναθεώρηση (διαφορά) | Νεότερη αναθεώρηση → (διαφορά)
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Η εικασία του Καταλάν (ή το θεώρημα του Μιχαϊλέσκου) είναι ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που εικάστηκε από τον μαθηματικό Εζέν Σαρλ Καταλάν το 1844 και αποδείχθηκε το 2002 από την Πρέντα Μιχαϊλέσκου στο Πανεπιστήμιο του Πάντερμπορν.[1][2] Οι ακέραιοι 23 και 32 είναι δύο τέλειες δυνάμεις (δηλαδή δυνάμεις εκθέτη μεγαλύτερου του ενός) φυσικών αριθμών των οποίων οι τιμές (8 και 9, αντίστοιχα) είναι διαδοχικές. Το θεώρημα δηλώνει ότι αυτή είναι η μοναδική περίπτωση δύο διαδοχικών τέλειων δυνάμεων. Δηλαδή, ότι 

Η εικασία του Καταλάν - η μόνη λύση στους φυσικούς αριθμούς του 
 xa−yb=1
για Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math is Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math.

Ιστορία

Η ιστορία του προβλήματος χρονολογείται τουλάχιστον από τον Γκερσονίδη, ο οποίος απέδειξε μια ειδική περίπτωση της εικασίας το 1343, όπου (x, y) περιορίστηκε να είναι (2, 3) ή (3, 2). Η πρώτη σημαντική πρόοδος μετά την εικασία του Καταλάν, ήρθε το 1850, όταν ο Βικτόρ-Αμεντί Λεμπεσγκ ασχολήθηκε με την περίπτωση b = 2.[3]

Το 1976, ο Ρόμπερτ Τίζντεμαν εφάρμοσε τη μέθοδο του Μπέικερ στη θεωρία της υπερβατικότητας για να καθορίσει ένα φράγμα για τα a, b και χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα αποτελέσματα που οριοθετούσαν τα x, y ως προς τα a, b για να δώσει ένα αποτελεσματικό άνω φράγμα για τα x, y, a, b. Ο Μισέλ Λανγκεβέν υπολόγισε μια τιμή exp⁡exp⁡exp⁡exp⁡730≈10101010317 για το όριο,[4] επιλύοντας την εικασία του Καταλάν για όλες τις περιπτώσεις εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων.

Η εικασία του Καταλάν αποδείχθηκε από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου τον Απρίλιο του 2002. Η απόδειξη δημοσιεύθηκε στο Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Κάνει εκτεταμένη χρήση της θεωρίας των κυκλοτομικών σωμάτων και των modules Γαλουά. Μια έκθεση της απόδειξης δόθηκε από τον Γιούρι Μπίλου στο Σεμινάριο Μπουρμπακί.[5] Το 2005, ο Μιχαϊλέσκου δημοσίευσε μια απλουστευμένη απόδειξη[6].

Εικασία του Πιλάι

Η εικασία του Πιλάι αφορά μια γενική διαφορά των τέλειων δυνάμεων Πρότυπο:OEIS: πρόκειται για ένα ανοιχτό πρόβλημα που αρχικά προτάθηκε από τον Πιλάι (Pillai]), ο οποίος υπέθεσε ότι τα κενά στην ακολουθία των τέλειων δυνάμεων τείνουν στο άπειρο. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται μόνο πεπερασμένες φορές ως διαφορά τέλειων δυνάμεων: Γενικότερα, το 1931 ο Πιλάι υπέθεσε ότι για σταθερούς θετικούς ακέραιους A, B, C η εξίσωση Axn−Bym=C έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (x,&nbsp, y, m, n) με (m, n) ≠ (2, 2). Ο Πιλάι απέδειξε ότι για σταθερά A, B, x, y, και για κάθε λ μικρότερο του 1, έχουμε |Axn−Bym|≫xλn ομοιόμορφα στο m και n.[7]

Η γενική εικασία προκύπτει από την εικασία ABC.[7][8]

Η εικασία του Πιλάι υποδηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ζεύγη τέλειων δυνάμεων με διαφορά n. Ο παρακάτω κατάλογος δείχνει, για n ≤ 64, όλες τις λύσεις για τέλειες δυνάμεις μικρότερες από 1018, τέτοιες ώστε ο εκθέτης και των δύο δυνάμεων να είναι μεγαλύτερος από 1. Ο αριθμός τέτοιων λύσεων για κάθε n παρατίθεται στη διεύθυνση Πρότυπο:Oeis. Δείτε επίσης Πρότυπο:Oeis για τη μικρότερη λύση (> 0).

n λύση
μέτρηση 		Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + n
να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις 		n λύση
μέτρηση 		Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + n
να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις
1 1 8 33 2 16, 256
2 1 25 34 0 none
3 2 1, 125 35 3 1, 289, 1296
4 3 4, 32, 121 36 2 64, 1728
5 2 4, 27 37 3 27, 324, Πρότυπο:Val
6 0 none 38 1 1331
7 5 1, 9, 25, 121, Πρότυπο:Val 39 4 25, 361, 961, Πρότυπο:Val
8 3 1, 8, Πρότυπο:Val 40 4 9, 81, 216, 2704
9 4 16, 27, 216, Πρότυπο:Val 41 3 8, 128, 400
10 1 2187 42 0 none
11 4 16, 25, 3125, 3364 43 1 441
12 2 4, 2197 44 3 81, 100, 125
13 3 36, 243, 4900 45 4 4, 36, 484, 9216
14 0 none 46 1 243
15 3 1, 49, Πρότυπο:Val 47 6 81, 169, 196, 529, 1681, Πρότυπο:Val
16 3 9, 16, 128 48 4 1, 16, 121, 21904
17 7 8, 32, 64, 512, Πρότυπο:Val, Πρότυπο:Val, Πρότυπο:Val 49 3 32, 576, Πρότυπο:Val
18 3 9, 225, 343 50 0 none
19 5 8, 81, 125, 324, Πρότυπο:Val 51 2 49, 625
20 2 16, 196 52 1 144
21 2 4, 100 53 2 676, Πρότυπο:Val
22 2 27, 2187 54 2 27, 289
23 4 4, 9, 121, 2025 55 3 9, 729, Πρότυπο:Val
24 5 1, 8, 25, 1000, Πρότυπο:Val 56 4 8, 25, 169, 5776
25 2 100, 144 57 3 64, 343, 784
26 3 1, Πρότυπο:Val, Πρότυπο:Val 58 0 none
27 3 9, 169, 216 59 1 841
28 7 4, 8, 36, 100, 484, Πρότυπο:Val, Πρότυπο:Val 60 4 4, 196, Πρότυπο:Val, Πρότυπο:Val
29 1 196 61 2 64, 900
30 1 6859 62 0 none
31 2 1, 225 63 4 1, 81, 961, Πρότυπο:Val
32 4 4, 32, 49, 7744 64 4 36, 64, 225, 512

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ Πρότυπο:Citation
  2. ↑ Πρότυπο:Harvnb
  3. ↑ Πρότυπο:Citation
  4. ↑ Πρότυπο:Citation
  5. ↑ Πρότυπο:Citation
  6. ↑ Πρότυπο:Harvnb
  7. ↑ 7,0 7,1 Πρότυπο:Citation
  8. ↑ Πρότυπο:Citation
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασία_του_Καταλάν&oldid=3078»