Εικασία Σάτο-Τέιτ

Στα μαθηματικά, η εικασία Σάτο-Τέιτ είναι μια στατιστική δήλωση σχετικά με την οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών E_p που προκύπτει από μια ελλειπτική καμπύλη E πάνω από τους ρητούς αριθμούς με αναγωγή σε όλους σχεδόν τους πρώτους αριθμούς p. Ο Μίκιο Σάτο και ο Τζον Τέιτ έθεσαν ανεξάρτητα την εικασία γύρω στο 1960.

Αν το N_p δηλώνει τον αριθμό των σημείων της ελλειπτικής καμπύλης E_p που ορίζεται πάνω στο πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία, η εικασία δίνει μια απάντηση στην κατανομή του όρου δεύτερης τάξης για το N_p. Σύμφωνα με το θεώρημα του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες,

N_{p} / p = 1 + O (1 / \sqrt{p})

ως $p \to \infty$ , και το νόημα της εικασίας είναι να προβλεφθεί πώς μεταβάλλεται ο συμβολισμός big-O^[1].

Η αρχική εικασία και η γενίκευσή της σε όλα τα εντελώς πραγματικά σώματα αποδείχθηκε από τους Λοράν Κλοζέλ, Μάικλ Χάρις, Νίκολας Σέπερντ-Μπάρον και Ρίτσαρντ Τέιλορ υπό ήπιες υποθέσεις το 2008 και ολοκληρώθηκε από τους Τόμας Μπάρνετ-Λαμπ, Ντέιβιντ Γκέραχτι, Χάρις και Τέιλορ το 2011. Αρκετές γενικεύσεις σε άλλες αλγεβρικές ποικιλίες και σώματα είναι ανοικτές.

Δήλωση

Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται πάνω στους ρητούς αριθμούς χωρίς μιγαδικό πολλαπλασιασμό. Για έναν πρώτο αριθμό p, ορίστεθ_p ως τη λύση της εξίσωσης

p + 1 - N_{p} = 2 \sqrt{p} \cos θ_{p} (0 \leq θ_{p} \leq π) .

Τότε, για κάθε δύο πραγματικούς αριθμούς $α$ and $β$ for which $0 \leq α < β \leq π,$

\lim_{N \to \infty} \frac{# {p \leq N : α \leq θ_{p} \leq β}}{# {p \leq N}} = \frac{2}{π} \int_{α}^{β} \sin^{2} θ d θ = \frac{1}{π} (β - α + \sin (α) \cos (α) - \sin (β) \cos (β))

Λεπτομέρειες

Σύμφωνα με το θεώρημα του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες^[2], ο λόγος

\frac{(p + 1) - N_{p}}{2 \sqrt{p}} = \frac{a_{p}}{2 \sqrt{p}}

είναι μεταξύ -1 και 1. Έτσι, μπορεί να εκφραστεί ως cos θ για γωνία θ. Με γεωμετρικούς όρους υπάρχουν δύο ιδιοτιμές που αντιπροσωπεύουν το υπόλοιπο και με τον παρονομαστή ως δεδομένο είναι μιγαδικές συζυγείς και έχουν απόλυτη τιμή 1. Η εικασία Σάτο-Τέιτ, όταν το E δεν έχει μιγαδικό πολλαπλασιασμό,^[3] δηλώνει ότι το μέτρο πιθανότητας του θ είναι ανάλογο προς

\sin^{2} θ d θ .

^[4]

Αυτό οφείλεται στους Μίκιο Σάτο και Τζον Τέιτ (ανεξάρτητα, και γύρω στο 1960, δημοσιεύτηκε κάπως αργότερα).^[5]

Απόδειξη

Το 2008, οι Κλόζελ, Χάρις, Σέπερντ-Μπάρον και Τέιλορ δημοσίευσαν μια απόδειξη της εικασίας Σάτο-Τέιτ για ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε εντελώς πραγματικά σώματα που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη συνθήκη: να έχουν πολλαπλασιαστική αναγωγή σε κάποιο πρώτο αριθμό,^[6] σε μια σειρά τριών κοινών εργασιών. ^[7]^[8]^[9]

Περαιτέρω αποτελέσματα εξαρτώνται από βελτιωμένες μορφές του τύπου ίχνους Άρθουρ-Σέλμπεργκ. Ο Χάρις έχει μια υπό όρους απόδειξη ενός αποτελέσματος για το γινόμενο δύο ελλειπτικών καμπυλών (όχι ισογενών^[10]) που προκύπτει από έναν τέτοιο υποθετικό τύπο ίχνους.^[11] Το 2011, οι Μπαρνέτ-Λαμπ, Γκέραγκτι, Χάρις και Τέιλορ απέδειξαν μια γενικευμένη εκδοχή της εικασίας Σάτο-Τέιτ για μια αυθαίρετη μη-CM ολομορφική σπονδυλωτή μορφή βάρους μεγαλύτερου ή ίσου με δύο,^[12]βελτιώνοντας τα αποτελέσματα δυνητικής σπονδυλωτής μορφής προηγούμενων εργασιών^[13] Τα προηγούμενα ζητήματα που σχετίζονται με τον τύπο ίχνους λύθηκαν από τους Μάικλ Χάρις,^[14] και Σουγκ Γου Σιν.^[15]^[16]

Το 2015, ο Ρίτσαρντ Τέιλορ τιμήθηκε με το Βραβείο Διάνοιας στα Μαθηματικά για τα πολυάριθμα πρωτοποριακά αποτελέσματα στην εικασία Σάτο-Τέιτ.^[17]

Γενικεύσεις

Υπάρχουν γενικεύσεις, που αφορούν την κατανομή των στοιχείων Φρομπένιους στις ομάδες Γκαλουά που εμπλέκονται στις αναπαραστάσεις Γκαλουά στην εστιακή συνομολογία. Ειδικότερα, υπάρχει μια εικαστική θεωρία για καμπύλες γένους n > 1.

Σύμφωνα με το μοντέλο των τυχαίων πινάκων που αναπτύχθηκε από τους Νικ Κατζ και Πίτερ Σάρνακ,^[18] υπάρχει μια υποθετική αντιστοιχία μεταξύ των (μοναδιαίων) χαρακτηριστικών πολυωνύμων των στοιχείων Φρομπένιους και των κλάσεων συζυγίας στη συμπαγή ομάδα Λι USp2n) = Sp(n). Το μέτρο Χάαρ στην USp(2n) δίνει τότε την εικαζόμενη κατανομή και η κλασική περίπτωση είναι USp(2) = SU(2).

Προσαρμογές

Υπάρχουν επίσης πιο εκλεπτυσμένες δηλώσεις. Η εικασία Λανγκ-Τρόττερ (Lang-Trotter conjecture, 1976) των Σερζ Λανγκ και Χέιλ Τρόττερ δηλώνει τον ασυμπτωτικό αριθμό των πρώτων αριθμών p με δεδομένη τιμή του a_p,^[19] το ίχνος του Φρομπένιους που εμφανίζεται στον τύπο. Για την τυπική περίπτωση (κανένας μιγαδικός πολλαπλασιασμός, ίχνος ≠ 0) ο τύπος τους δηλώνει ότι ο αριθμός των p μέχρι το X είναι ασυμπτωτικά

c \sqrt{X} / \log X

με μια συγκεκριμένη σταθερά c. Ο Νιλ Κόμπλιτζ (1988) παρείχε λεπτομερείς εικασίες για την περίπτωση ενός πρώτου αριθμού q σημείων στο Ep, με κίνητρο την κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών.^[20] Το 1999, οι Σαντάλ Νταβίντ και Φραντσέσκο Παπαλάρντι απέδειξαν μια μέση εκδοχή της εικασίας των Λανγκ-Τρότερ.^[21]^[22]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Report on Barry Mazur giving context Πρότυπο:Webarchive
Michael Harris notes, with statement (PDF)
La Conjecture de Sato–Tate [d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], Bourbaki seminar June 2007 by Henri Carayol (PDF)
Video introducing Elliptic curves and its relation to Sato-Tate conjecture, Imperial College London, 2014 (Last 15 minutes)
Danilov, L.V., "The Diophantine equation 'x³ - y²' ' = k ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ In the case of an elliptic curve with complex multiplication, the Hasse–Weil L-function is expressed in terms of a Hecke L-function (a result of Max Deuring). The known analytic results on these answer even more precise questions.
↑ To normalise, put 2/π in front.
↑ It is mentioned in J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta functions in the volume (O. F. G. Schilling, editor), Arithmetical Algebraic Geometry, pages 93–110 (1965).
↑ That is, for some p where E has bad reduction (and at least for elliptic curves over the rational numbers there are some such p), the type in the singular fibre of the Néron model is multiplicative, rather than additive. In practice this is the typical case, so the condition can be thought of as mild. In more classical terms, the result applies where the j-invariant is not integral.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Citation
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ See Carayol's Bourbaki seminar of 17 June 2007 for details.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Theorem B of Πρότυπο:Harvnb
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ See p. 71 and Corollary 8.9 of Πρότυπο:Harvnb
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Citation
↑ Πρότυπο:Citation
↑ Πρότυπο:Citation.
↑ Πρότυπο:Cite news
↑ Πρότυπο:Cite journal

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite journal

[3] In the case of an elliptic curve with complex multiplication, the Hasse–Weil L-function is expressed in terms of a Hecke L-function (a result of Max Deuring). The known analytic results on these answer even more precise questions.

[4] To normalise, put 2/π in front.

[5] It is mentioned in J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta functions in the volume (O. F. G. Schilling, editor), Arithmetical Algebraic Geometry, pages 93–110 (1965).

[6] That is, for some p where E has bad reduction (and at least for elliptic curves over the rational numbers there are some such p), the type in the singular fibre of the Néron model is multiplicative, rather than additive. In practice this is the typical case, so the condition can be thought of as mild. In more classical terms, the result applies where the j-invariant is not integral.

[7] Πρότυπο:Cite journal

[8] Πρότυπο:Cite journal

[9] Πρότυπο:Citation

[10] Πρότυπο:Cite web

[11] See Carayol's Bourbaki seminar of 17 June 2007 for details.

[12] Πρότυπο:Cite journal

[13] Theorem B of Πρότυπο:Harvnb

[14] Πρότυπο:Cite book

[15] Πρότυπο:Cite journal

[16] See p. 71 and Corollary 8.9 of Πρότυπο:Harvnb

[17] Πρότυπο:Cite web

[18] Πρότυπο:Citation

[19] Πρότυπο:Citation

[20] Πρότυπο:Citation.

[david-pappalardi-21] Πρότυπο:Cite news

[David_Pappalardi_distributions_of_elliptic_curves-22] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Εικασία Σάτο-Τέιτ

Περιεχόμενα

Δήλωση

Λεπτομέρειες

Απόδειξη

Γενικεύσεις

Προσαρμογές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Εικασία Σάτο-Τέιτ

Δήλωση

Λεπτομέρειες

Απόδειξη

Γενικεύσεις

Προσαρμογές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση