Υπερπαραγοντικό

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία αριθμών, το υπερπαραγοντικό ενός θετικού ακέραιου αριθμού $n$ είναι το γινόμενο των αριθμών της μορφής $x^x$ από το $1^1$ έως το Πρότυπο:Nowrap

Ορισμός

Το υπερπαραγοντικό ενός θετικού ακέραιου αριθμού $n$ είναι το γινόμενο των αριθμών $1^1,2^2,\dots ,n^n$. Δηλαδή,$$H(n)=1^1\cdot 2^2\cdot \cdots n^n=\prod _{i=1}^n{i}^i=n^{n}H(n-1).$$Ακολουθώντας τον συνήθη συμβολισμό για το κενό γινόμενο, το υπερπαραγοντικό του 0 είναι 1. Η ακολουθία των υπερπαραγοντικών, ξεκινώντας από το $H(0)=1$, είναι: Πρότυπο:Block indent

Παρεμβολή και προσέγγιση

Τα υπερπαραγοντικά μελετήθηκαν ξεκινώντας τον 19ο αιώνα από τον Hermann Kinkelin και τον James Whitbread Lee Glaisher. Όπως έδειξε ο Kinkelin, ακριβώς όπως τα παραγοντικά μπορούν να παρεμβάλλονται συνεχώς από τη συνάρτηση γάμμα, έτσι και τα υπερπαραγοντικά μπορούν να παρεμβάλλονται συνεχώς από τη συνάρτηση Κ (η οποία είναι μια γενίκευση των υπερπαραγοντικών στους μιγαδικούς αριθμούς).

Ο Glaisher ανακάλυψε έναν ασυμπτωτικό τύπο για τα υπερπαραγοντικά, ανάλογο με τον τύπο του Στίρλινγκ για τα παραγοντικά:$$H(n)=A{n}^{(6n^2+6n+1)/12}{e}^{-n^2/4}(1+\frac{1}{720n^2}-\frac{1433}{7257600n^4}+\cdots ),$$ όπου $A\approx 1.28243$ είναι η σταθερά Glaisher–Kinkelin.

Άλλες ιδιότητες

Όπως και στο θεώρημα Wilson σχετικά με τη συμπεριφορά των παραγοντικών modulo πρώτων αριθμών, έτσι και εδώ όταν το $p$ είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός, ισχύει ότι:$$H(p-1)\equiv (-1{)}^{(p-1)/2}(p-1)!!(\mathrm{mod}p),$$ όπου $!!$ είναι ο συμβολισμός για το διπλό παραγοντικό.

Αναφορές

http://mathhmagic.blogspot.com/2011/12/1001-fibonacci.html

(Για αγγλικές αναφορές, μπορείτε να επισκεφτείτε την αγγλική έκδοση)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Mathworld