Παραλληλόγραμμο

Πρότυπο:Multiple image Στην γεωμετρία, το παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη).

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

Ιδιότητες

• Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

• Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.Πρότυπο:R

• Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του και κέντρο βάρους του.
• Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.Πρότυπο:R

• Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.Πρότυπο:R

• Κριτήρια παραλληλογράμμου: Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.
2. Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.
3. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο.
4. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων

Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:Πρότυπο:R

• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$, $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ και $\hat{\mathrm{A}}={\hat{\mathrm{A}}}^{\prime }$ είναι ίσα.
• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$, $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ είναι ίσα.

Μετρικές σχέσεις

• (Νόμος του παραλληλογράμμου) Σε κάθε παραλληλόγραμμο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του,

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2+{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}^2+{\mathrm{\Delta }\mathrm{A}}^2=2\cdot {\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2+2\cdot {\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}^2$.

Εμβαδόν

Διαγραμματική απόδειξη τύπου $\mathrm{E}=b\cdot h$ για το εμβαδόν.

Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου:

• Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους:

$\mathrm{E}=(\text{βάση})\cdot (\text{ύψος}).$

• Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, ισχύει ότι

$\mathrm{E}=\sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\delta )$ και $\mathrm{A}\mathrm{B}=\alpha$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }=\beta$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }=\delta$.

• Αν το σημείο $\mathrm{A}=(0,0)$, το $\mathrm{B}=(x_1,y_1)$ και το $\mathrm{\Gamma }=(x_2,y_2)$, τότε

$\mathrm{E}=\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left[\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right]\right|=|x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1|$.

Εφαρμογές

Τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Θεώρημα Βαρινιόν

Το θεώρημα Varignon λέει ότι τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Θεώρημα Πάππου.

Θεώρημα του Πάππου

Πρότυπο:Κύριο Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

Σε αποδείξεις θεωρημάτων

Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα, στις αποδείξεις

• της ύπαρξης του βαρυκέντρου
• του θεωρήματος van Schooten
• του θεωρήματος Vecten.

Πλακοστρώσεις

Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα παραλληλόγραμμο που έχει τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. Αν έχει και τις γωνίες του ορθές και τις πλευρές του ίσες, τότε λέγεται τετράγωνο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Εφαρμογή για τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου
• Εφαρμογή με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal<

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Τραπέζιο
• Παραλληλεπίπεδο