Ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ

Στην θεωρία πιθανοτήτων η ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ (αναφέρεται και ως ανισότητα Paley-Zygmund) λέει ότι για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή $X\ge 0$ και για οποιοδήποτε $\theta \in [0,1]$ έχουμε ότι

$\mathrm{P}(X>\theta \cdot \mathrm{E}[X])\ge (1-\theta {)}^2\cdot \frac{\mathrm{E}[X{]}^2}{\mathrm{E}[X^2]}.$

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Ρέιμοντ Πέιλι και τον Αντόνι Ζίγκμουντ που δημοσίευσαν την ανισότητα το 1932.

Απόδειξη

Για τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές ${\mathrm{𝟏}}_{X>\theta \cdot \mathrm{E}[X]}$ και ${\mathrm{𝟏}}_{X\le \theta \cdot \mathrm{E}[X]}$, έχουμε ότι

${\mathrm{𝟏}}_{X>\theta \cdot \mathrm{E}[X]}+{\mathrm{𝟏}}_{X\le \theta \cdot \mathrm{E}[X]}=1$.

Επομένως, γράφουμε την αναμενόμενη τιμή του $X$ ως

$\mathrm{E}[X]=\mathrm{E}[X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{X>\theta \cdot \mathrm{E}[X]}]+\mathrm{E}[X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{X\le \theta \cdot \mathrm{E}[X]}]$.

Για τον πρώτο όρο, έχουμε από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ότι

Πρότυπο:NumBlk

Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι $X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{X\le \theta \cdot \mathrm{E}[X]}\le \theta \cdot \mathrm{E}[X]$ και επομένως,

Πρότυπο:NumBlk

Συνδυάζοντας τις (Πρότυπο:EquationNote) και (Πρότυπο:EquationNote), έχουμε ότι

$\mathrm{E}[X]\le (\mathrm{E}[X^2]{)}^{1/2}\cdot (\mathrm{P}(X>\theta \cdot \mathrm{E}[X]){)}^{1/2}+\theta \cdot \mathrm{E}[X]$,

αναδιατάσσοντας την οποία λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Επεκτάσεις

Διάφορες επεκτάσεις έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος
• Μέθοδος δεύτερης ροπής