Αποκλειστική διάζευξη

Στην μαθηματική λογική, η αποκλειστική διάζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές αν και μόνο αν ακριβώς ένας από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής.

Για να δηλώσουν αποκλειστική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα XOR και $\oplus$. Η αποκλειστική διάζευξη μπορεί να γραφεί με χρήση μόνο των λογικών τελεστών σύζευξη (ή "ένωση" ή "λογική άθροιση") $\wedge$, διάζευξη $\vee$, και άρνηση $\mathrm{\neg }$ ως εξής:Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\begin{array}{ccc}p\oplus q& =& (p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge q)\end{array}$

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας της πρότασης $p\oplus q$:Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$p$	$q$	$\oplus$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

όπου 0 αντιστοιχεί στην τιμή ψευδής και 1 στην τιμή αληθής.

Ιδιότητες

Η αποκλειστική διάζευξη ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:Πρότυπο:RΠρότυπο:Rp

• Ικανοποιεί την $x\oplus x=0$.

• Ικανοποιεί την $x\oplus 1=\mathrm{\neg }x$.

• Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα $x\oplus y=y\oplus x$.

• Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$ και γι' αυτό οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται.

• Η διάζευξη και η σύζευξη δεν μπορούν να υλοποιηθούν με την χρήση μόνο τελεστών αποκλειστικής διάζευξης.Πρότυπο:Rp

Γενικεύσεις

Η αποκλειστική διάζευξη $n$ εισόδων $x_1,\dots ,x_n$ ορίζεται ως $x_1\oplus x_2\oplus \dots \oplus x_n$ και είναι ισοδύναμη με την συνάρτησηΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$s(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{αν υπάρχει μονός αριθμός 1 μεταξύ των }{x}_1,\dots ,x_n\\ 0& \text{διαφορετικά}.\end{array}$

Δείτε επίσης

• Λογική διάζευξη
• Λογική σύζευξη
• Άλγεβρα Μπουλ