Αρνητική διωνυμική κατανομή

Αρχείο:Negative binomial distribution examples.svg

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την αρνητική διωνυμική κατανομή με $r=2,4,6$ και $p=0.35$.

Αρχείο:Cdf negative binomial distribution examples.svg

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για την αρνητική διωνυμική κατανομή με $r=2,4,6$ και $p=0.35$.

Αρνητική Διωνυμική Κατανομή

Συμβολισμός	$𝖭𝖡(r,p)$
Παράμετροι	$r\in \mathbb{N}$ (πλήθος επιτυχιών), $p\in [0,1]$ (πιθανότητα επιτυχίας)
Φορέας	$k\in \{0,1,2,\dots \}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k$
Μέσος	$r\cdot \frac{1-p}{p}$
Διάμεσος	$\lfloor n\cdot p\rfloor$ ή $\lceil n\cdot p\rceil$
Διακύμανση	$r\cdot \frac{1-p}{p^2}$
Λοξότητα	$\frac{1+p}{\sqrt{pr}}$
Κύρτωση	$\frac{6}{r}+\frac{p^2}{(1-p)\cdot r}-3$
Πιθανογεννήτρια	${\left(\frac{p}{1-(1-p)t}\right)}^r$ για $|t|<1/p$
Χαρακτηριστική	${\left(\frac{p}{1-(1-p)e^t}\right)}^r$ για $t<-\log p$

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$ μέχρι να έχουμε $r$ επιτυχίες.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα $r+k$ φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία. Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε $r\in \mathbb{N}$ επιτυχίες να έχουμε $k\in \mathbb{N}$ αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας $p\in (0,1)$ κάθε φορά είναι:

$\mathrm{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k$.

Ορισμός

Ως άθροισμα γεωμετρικών κατανομών

Έστω $X_1,\dots ,X_k$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε $X_i+1$ ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή $𝖦𝖾𝗈𝗆(p)$. Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι

$X_1+\dots +X_r\sim 𝖭𝖡(r,p).$

Μέση τιμή

Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα $r$ τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:

$\mathrm{E}[X]=\mathrm{E}\left[\sum _{i=1}^r{X}_i\right]=\sum _{i=1}^r\mathrm{E}[X_i]=r\cdot (\frac{1}{p}-1)=r\cdot \frac{1-p}{p},$

χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm{E}[X_i+1]=\frac{1}{p}$.

Διακύμανση

Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού $X_1,\dots ,X_k$ είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:

$\mathrm{V}[X]=\mathrm{V}\left[\sum _{i=1}^r{X}_i\right]=r\cdot \mathrm{V}[X_1]=r\cdot \frac{1-p}{p^2}$.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας ότι $X={\sum }_{i=1}^r{X}_i$, για $X_i+1$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[t^X]=\mathrm{E}[t^{\sum _{i=1}^n{X}_i}]=\prod _{i=1}^r\mathrm{E}[t^{X_i}]={\left(\frac{p}{1-(1-p)e^t}\right)}^r,$

αφού $\mathrm{E}[t^{X_i-1}]=\frac{p{e}^t}{1-(1-p)t}$ για $|t|<1/p$ από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας ότι $X={\sum }_{i=1}^r{X}_i$, για $X_i+1$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[e^{tX}]=\mathrm{E}[e^{\sum _{i=1}^n{X}_i}]=\prod _{i=1}^r\mathrm{E}[e^{t{X}_i}]={\left(\frac{p}{1-(1-p)e^t}\right)}^r,$

αφού $\mathrm{E}[e^{t(X_i-1)}]=\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$ για $t<-\log p$ από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Δείτε επίσης

• Γεωμετρική κατανομή
• Διωνυμική κατανομή