Ασυσχετισία (Θεωρία πιθανοτήτων)

Στην θεωρία πιθανοτήτων, δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ λέγονται ασυσχέτιστες αν η συνδυακύμανσή τους είναι μηδέν, δηλαδή

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\cdot \mathrm{E}[Y]=0.$

Δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.

Ιδιότητες

• Δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ είναι ασυσχέτιστες ανν

$\mathrm{E}[XY]=\mathrm{E}[X]\cdot \mathrm{E}[Y].$

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ είναι ασυσχέτιστες.
• Από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε ότι για (ανά δύο) ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές $X_1,\dots ,X_n$, έχουμε ότι η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$

Παράδειγμα

Από τις ιδιότητες παραπάνω έχουμε ότι κάθε ζεύγος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ασυσχέτιστες. Τώρα θα ορίσουμε δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ οι οποίες είναι ασυσχέτιστες, αλλά όχι ανεξάρτητες. Αυτές οι μεταβλητές έχουν τις εξής πιθανότητες:

$X$ \ $Y$	$Y=-1$	$Y=0$	$Y=+1$
$X=0$	$0$	$\frac{1}{2}$	$0$
$X=1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Παρατηρήστε ότι δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς αν γνωρίζουμε ότι $Y=-1$, τότε ξέρουμε επίσης ότι $X=0$.

Από το παραπάνω προκύπτει ότι

$\mathrm{E}[XY]=\mathrm{P}(X=0,Y=-1)\cdot (-1)+\mathrm{P}(X=1,Y=+1)\cdot (+1)=\frac{1}{4}\cdot (-1)+\frac{1}{4}\cdot (+1)=0,$

και ότι

$\mathrm{E}[Y]=\frac{1}{4}\cdot (-1)+\frac{1}{4}\cdot (+1)=0$ και $\mathrm{E}[X]\cdot \mathrm{E}[Y]=0$.

Επομένως, οι τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες

$\mathrm{Cov}(X,Y)=0.$

Δείτε επίσης

• Ανεξαρτησία
• Συνδιακύμανση