Διαφορά τετραγώνων

Στα μαθηματικά, η διαφορά τετραγώνων είναι η αφαίρεση ενός τετραγώνου ενός αριθμού από ένα άλλο τετράγωνο αριθμού. Η διαφορά των τετραγώνων $a^2$ και $b^2$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως

$a^2-b^2=(a-b)\cdot (a+b)$.

Απόδειξη

Αλγεβρική απόδειξη

Η απόδειξη είναι σχετικά απλή και προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Η απόδειξη ισχύει πιο γενικά σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι

$(a-b)\cdot (a+b)=a^2+ab-ba-b^2$.

Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουμε ότι

$(a-b)\cdot (a+b)=a^2+ab-ab-b^2$.

Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού λαμβάνουμε ότι

$(a-b)\cdot (a+b)=a^2+0-b^2$,

και από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου, καταλήγουμε ότι

$(a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2$.

Γεωμετρική απόδειξη

Παρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη με χρήση εμβαδών για την περίπτωση που $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $a\ge b$.

Αρχείο:Difference of squares visual proof.svg

Γεωμετρική απόδειξη για την διαφορά τετραγώνων.

Εφαρμογές

Ρητοποίηση παρονομαστή

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται για να κάνει τον παρονομαστή ενός κλάσματος ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε το κλάσμα

$\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$,

τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και παρονομαστή με $\sqrt{3}-1$, λαμβάνουμε

$\frac{(5-\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}=\frac{5\sqrt{3}-5-\sqrt{6}++\sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\frac{5\sqrt{3}-5-\sqrt{6}++\sqrt{2}}{2},$

το οποίο κλάσμα έχει ρητό παρονομαστή.

Διαίρεση μιγαδικών αριθμών

Γενικεύοντας το παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών $z_1=a+ib$ και $z_2=c+id$. Πιο συγκεκριμένα,

$\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(a+ib)\cdot (c-id)}{(c+id)\cdot (c-id)}=\frac{ac-iad+ibc+bd}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\cdot \frac{bc-ad}{c^2+d^2}.$

Παραγοντοποίηση Φερμά

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης Φερμά.Πρότυπο:Rp

Δείτε επίσης

• Παραγοντοποίηση
• Διαφορά κύβων
• Ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν