Ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν αναφέρεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου

$\begin{array}{cc}{x}^4+y^4& =((x+y{)}^2+y^2)\cdot ((x-y{)}^2+y^2)\\ & =(x^2+2xy+2y^2)\cdot (x^2-2xy+2y^2).\end{array}$

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από την Σοφί Ζερμαίν.

Απόδειξη

Η απόδειξη ξεκινάει συμπληρώνοντας το τετράγωνο

$\begin{array}{cc}{x}^4+4y^4& =x^4+4y^4+4x^2{y}^2-4x^2{y}^2\\ & =(x^2+2y^2{)}^2-4x^2{y}^2\\ & =(x^2+2y^2{)}^2-(2xy{)}^2,\end{array}$

έπειτα συνεχίζει χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων

$\phantom{x^4+4y^4}=(x^2+2y^2-2xy)\cdot (x^2+2y^2+2xy),$

το οποίο είναι επίσης ίσο με

$\phantom{x^4+4y^4}=((x-y{)}^2+y^2)\cdot ((x+y{)}^2+y^2).$

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Δείτε επίσης

• Παραγοντοποίηση
• Συμπληρώνοντας το τετράγωνο
• Διαφορά τετραγώνων