Εικασία του Φιροζμπάχτ

Διάγραμμα που δείχνει τους πρώτους αριθμούς σε συνάρτηση με τις αποστάσεις μεταξύ των πρώτων αριθμών.

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Φιροζμπάχτ (ή Φιροζμπάχτ εικασία ) είναι μια εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Πήρε το όνομά της από τον Ιρανό μαθηματικό Φαριντέχ Φιροζμπάχτ (Farideh Firoozbakht), ο οποίος τη διατύπωσε το 1982.

Η εικασία δηλώνει ότι $p_n^{1/n}$ (όπου $p_n$ είναι ο n-th πρώτος αριθμός) είναι μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση του n, δηλ,

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}\text{ for all }n\ge 1.$

Αντιστοίχως:

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}},$

$p_{n+1}^n<p_n^{n+1},\text{ or }$

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<p_n.$

Βλ. Πρότυπο:OEIS2C, Πρότυπο:OEIS2C.

Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μέγιστων αποστάσεων, ο Φαριντέχ Φιροζμπάχτ επαλήθευσε την εικασία της μέχρι 4.444Πρότυπο:E. Τώρα με πιο εκτεταμένους πίνακες μέγιστων αποστάσεων, η εικασία έχει επαληθευτεί για όλους τους πρώτους αριθμούς κάτω από 2⁶⁴ ≈ Πρότυπο:Val.

Αν η εικασία ήταν αληθής, τότε η συνάρτηση απόστασης μεταξύ πρώτων αριθμών $g_n=p_{n+1}-p_n$ θα ικανοποιούσε:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n\text{ for all }n>4.$

Επιπλέον:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1\text{ for all }n>9,$

βλ. επίσης Πρότυπο:OEIS2C. Αυτό είναι ένα από τα ισχυρότερα ανώτερα όρια που εικάζονται για τις αποστάσεις μεταξύ πρώτων αριθμών, ακόμη και κάπως ισχυρότερο από τις εικασίες των Κράμερ και Σανκς. Υπονοεί μία ισχυρή μορφή της εικασίας του Κράμερ και συνεπώς δεν είναι συνεπής με τις ευρετικές μεθόδους των Γκράνβιλ και Πιντζ και του Μάιερ που υποδηλώνουν ότι

βλ. επίσης Πρότυπο:OEIS2C. Αυτό είναι ένα από τα ισχυρότερα ανώτερα όρια που εικάζονται για τις αποστάσεις μεταξύ πρώτων αριθμών, ακόμη και κάπως ισχυρότερο από τις εικασίες των Κράμερ και Σανκς. Υπονοεί μια ισχυρή μορφή της εικασίας του Κράμερ και συνεπώς δεν είναι συνεπής με τις ευρετικές μεθόδους των Γκράνβιλ και Πιντζ και του Μάιερ (Maier) που υποδηλώνουν ότι

$g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2\approx 1.1229(\log p_n{)}^2,$

εμφανίζεται απείρως συχνά για κάθε $\epsilon >0,$ όπου $\gamma$ δηλώνει τη σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι.

Τρεις σχετικές εικασίες ( βλ. τα σχόλια του Πρότυπο:OEIS2C) είναι παραλλαγές της εικασίας του Φριοζμπάχτ. Ο Φορζ σημειώνει ότι η υπόθεση του Φιροζμπάχτ μπορεί να γραφτεί ως εξής

${\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)}^n<{(1+\frac{1}{n})}^n,$

όπου η δεξιά πλευρά είναι η γνωστή έκφραση που φτάνει τον αριθμό του Όιλερ στο όριο $n\to \mathrm{\infty }$, υποδηλώνοντας την ελαφρώς ασθενέστερη εικασία

${\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)}^n<e.$

Οι Νίκολσον και Φαρχαντιάν δίνουν δύο ισχυρότερες εκδοχές της εικασίας του Φιροζμπάχτ, οι οποίες μπορούν να συνοψιστούν ως εξής:

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<\frac{p_n\log n}{\log p_n}<n\log n<p_n\text{ for all }n>5,$

όπου η δεξιά ανισότητα είναι του Φιροζμπάχτ, η μεσαία είναι του Νίκολσον (αφού $n\log n<p_n$, βλ. θεώρημα πρώτων αριθμών § Μη ασυμπτωτικά όρια για τη συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών), και η αριστερή ανισότητα είναι του Φαρχαντιάν (αφού$\frac{p_n}{\log p_n}<n$, βλ. συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών § Ανισότητες).

Όλα έχουν επαληθευτεί σε 2⁶⁴.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Πρότυπο:Cite book

Πηγές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation