Θεώρημα Κέισι

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Κέισι^[1], επίσης γνωστό ως γενικευμένο θεώρημα του Πτολεμαίου, είναι ένα θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας που πήρε το όνομά του από τον Ιρλανδό μαθηματικό Τζον Κέισι.

Διατύπωση του θεωρήματος

Έστω $O$ ένας κύκλος ακτίνας $R$ . Έστω $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ τέσσερις μη τεμνόμενοι κύκλοι που βρίσκονται μέσα στον $O$ και εφάπτονται σε αυτόν. Συμβολίζουμε με $t_{i j}$ το μήκος της εξωτερικής κοινής διπλής εφαπτομένης των κύκλων $O_{i}, O_{j}$ . Τότε:^[2]

t_{12} \cdot t_{34} + t_{14} \cdot t_{23} = t_{13} \cdot t_{24} .

Σηµειώστε ότι στην εκφυλισµένη περίπτωση, όπου και οι τέσσερις κύκλοι ανάγονται σε σηµεία, αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στο θεώρηµα του Πτολεµαίου.

Απόδειξη

Η ακόλουθη απόδειξη οφείλεται^[3] στον Ζαχαρία.^[4] Συμβολίζουμε την ακτίνα του κύκλου $O_{i}$ με $R_{i}$ και το σημείο εφαπτομένης του με τον κύκλο $O$ με $K_{i}$ . Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό $O, O_{i}$ για τα κέντρα των κύκλων. Να σημειωθεί ότι από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

t_{i j}^{2} = \overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2} .

Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε αυτό το μήκος σε όρους των σημείων $K_{i}, K_{j}$ . Σύμφωνα με τον νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο $O_{i} O O_{j}$ ,

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = \overset{2}{\overline{O O_{i}}} + \overset{2}{\overline{O O_{j}}} - 2 \overline{O O_{i}} \cdot \overline{O O_{j}} \cdot \cos ∠ O_{i} O O_{j}

Δεδομένου ότι οι κύκλοι $O, O_{i}$ εφάπτονται μεταξύ τους:

\overline{O O_{i}} = R - R_{i}, ∠ O_{i} O O_{j} = ∠ K_{i} O K_{j}

Έστω $C$ ένα σημείο του κύκλου $O$ . Σύμφωνα με τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $K_{i} C K_{j}$ :

\overline{K_{i} K_{j}} = 2 R \cdot \sin ∠ K_{i} C K_{j} = 2 R \cdot \sin \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2}

Επομένως,

\cos ∠ K_{i} O K_{j} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2} = 1 - 2 \cdot {(\frac{\overline{K_{i} K_{j}}}{2 R})}^{2} = 1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}}

Και τέλος, το μήκος που ζητάμε είναι

t_{i j} = \sqrt{\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2}} = \frac{\sqrt{R - R_{i}} \cdot \sqrt{R - R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R}

Μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε την αριστερή πλευρά, με τη βοήθεια του αρχικού θεώρημα του Πτολεμαίου που εφαρμόζεται στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}$ :

\begin{matrix} t_{12} t_{34} + t_{14} t_{23} \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{2}} \cdot \overline{K_{3} K_{4}} + \overline{K_{1} K_{4}} \cdot \overline{K_{2} K_{3}}) \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{3}} \cdot \overline{K_{2} K_{4}}) \\ = & t_{13} t_{24} \end{matrix}

Περαιτέρω γενικεύσεις

Μπορεί να φανεί ότι οι τέσσερις κύκλοι δεν χρειάζεται να βρίσκονται μέσα στον μεγάλο κύκλο. Στην πραγματικότητα, μπορούν να εφάπτονται σε αυτόν και από το εξωτερικό. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να γίνει η ακόλουθη αλλαγή:^[5]

Αν $O_{i}, O_{j}$ εφάπτονται και οι δύο από την ίδια πλευρά του $O$ (και οι δύο μέσα ή και οι δύο έξω), $t_{i j}$ είναι το μήκος της εξωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Αν $O_{i}, O_{j}$ εφάπτονται από διαφορετικές πλευρές του $O$ (μία μέσα και μία έξω), $t_{i j}$ είναι το μήκος της εσωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Casey.^[5] Δηλαδή, αν ισχύει η ισότητα, οι κύκλοι εφάπτονται σε έναν κοινό κύκλο.

Εφαρμογές

Το θεώρημα του Κέισι και το αντίστροφό του μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μιας σειράς δηλώσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Παραδείγματος χάριν, η συντομότερη γνωστή απόδειξη^[2]Πρότυπο:Rp του θεωρήματος του Φόιερμπαχ χρησιμοποιεί το αντίστροφο θεώρημα.

Δημοσιεύσεις

Πρότυπο:Cite journal
Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
Πρότυπο:Citation

Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Στοιχεία του Ευκλείδη
Ευκλείδειος χώρος
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
Ομογενές πολυώνυμο
Παραμετρικές εξισώσεις
Παραβολή (γεωμετρία)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Σπείρα του Αρχιμήδη
Συνέχεια συνάρτησης
Διπλή εφαπτομένη
Πυθαγόρειο θεώρημα
Θεώρημα του Πτολεμαίου
Τετραγωνισμός του κύκλου
Συνημίτονο
Μονοδύναμο στοιχείο
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Πρότυπο:Cite web
↑ ^2,0 ^2,1 Πρότυπο:Cite journal
↑ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
↑ Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.
↑ ^5,0 ^5,1 Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[1] Πρότυπο:Cite web

[Cas-2] 2,0 ^2,1 Πρότυπο:Cite journal

[Bot-3] Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).

[Zach-4] Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.

[John-5] 5,0 ^5,1 Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Θεώρημα Κέισι

Περιεχόμενα

Διατύπωση του θεωρήματος

Απόδειξη

Περαιτέρω γενικεύσεις

Εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Θεώρημα Κέισι

Διατύπωση του θεωρήματος

Απόδειξη

Περαιτέρω γενικεύσεις

Εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση