Θεώρημα πεταλούδας

Πρότυπο:Center

Για το «λήμμα της πεταλούδας» της θεωρίας ομάδων, βλ. Λήμμα Ζάσενχαους

Το θεώρημα της πεταλούδας είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, το οποίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:Πρότυπο:Rp

Έστω Πρότυπο:Math το μέσο μιας χορδής Πρότυπο:Math ενός κύκλου, από την οποία διέρχονται δύο άλλες χορδές Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math τέμνουν τη χορδή Πρότυπο:Math στα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math αντίστοιχα. Τότε Πρότυπο:Math είναι το μέσο της Πρότυπο:Math.

Απόδειξη

Πρότυπο:Center

Η τυπική απόδειξη του θεωρήματος έχει ως εξής: Έστω ότι οι κάθετες Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math πέφτουν από το σημείο Πρότυπο:Math στις ευθείες

Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math αντίστοιχα. Ομοίως, έστω Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math να πέφτουν από το σημείο Πρότυπο:Math κάθετα στις ευθείες Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math αντίστοιχα.

Δεδομένου ότι το

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime },$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY}.$

Από τις προηγούμενες εξισώσεις και το θεώρημα των χορδών τομής προκύπτει ότι

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY},$

$=\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY},$

$=\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

από το Πρότυπο:Math.

Οπότε,

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί την τελευταία εξίσωση,

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2.$

Ακύρωση του κοινού όρου

$-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2$

και από τις δύο πλευρές της προκύπτουσας εξίσωσης δίνει

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2,$

ως εκ τούτου Πρότυπο:Math, δεδομένου ότι οι MX, MY και PM είναι όλοι θετικοί, πραγματικοί αριθμοί.

Έτσι, Πρότυπο:Math είναι το μέσο του Πρότυπο:Math.

Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένου ενός που χρησιμοποιεί προβολική γεωμετρία.

Ιστορία

Η απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας τέθηκε ως πρόβλημα από τον Γουίλιαμ Γουάλας στο The Gentleman's Mathematical Companion (Ο μαθηματικός σύντροφος του τζέντλεμαν) (1803). Τρεις λύσεις δημοσιεύθηκαν το 1804 και το 1805 ο Σερ Γουίλιαμ Χέρσελ έθεσε ξανά το ερώτημα σε επιστολή του προς τον Γουάλας. Ο αιδεσιμότατος Τόμας Σκερ έθεσε ξανά το ίδιο ερώτημα το 1814 στο Gentleman's Diary or Mathematical Repository (Ημερολόγιο τζέντλεμαν ή Μαθηματικό Αποθετήριο).

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Πρότυπο:Citation

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Παραλληλόγραμμο
• Κύκλος
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra..
• Characters of Groups and Lattices over Orders: From Ordinary to Integral ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Paul Glaister: Intersecting Chords Theorem: 30 Years on. Mathematics in School, Vol. 36, No. 1 (Jan., 2007), p. 22 (JSTOR)
• Bruce Shawyer: Explorations in Geometry. World scientific, 2010, ISBN 9789813100947, p. 14
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306