Ισοδυναμία γραμμών

Στη γραμμική άλγεβρα, δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τη γραμμή αν ο ένας μπορεί να μετατραπεί στον άλλο με μια ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών. Εναλλακτικά, δύο m × n πίνακες είναι ισοδύναμοι σε σειρά αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. Η έννοια εφαρμόζεται συνηθέστερα σε πίνακες που αναπαριστούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, οπότε δύο πίνακες του ίδιου μεγέθους είναι ισοδύναμοι στη σειρά αν και μόνο αν τα αντίστοιχα ομογενή συστήματα έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, ή ισοδύναμα οι πίνακες έχουν τον ίδιο μηδενικό χώρο.

Επειδή οι στοιχειώδεις πράξεις σειράς είναι αντιστρέψιμες, η ισοδυναμία σειράς είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Συνήθως συμβολίζεται με την τελεία (~).

Υπάρχει μια παρόμοια έννοια της ισοδυναμίας στηλών, η οποία ορίζεται από στοιχειώδεις πράξεις στήλης- δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι στηλών εάν και μόνο εάν οι πίνακες μεταφοράς τους είναι ισοδύναμοι στη γραμμή. Δύο ορθογώνιοι πίνακες που μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους επιτρέποντας τόσο στοιχειώδεις πράξεις γραμμής όσο και στοιχειώδεις πράξεις στήλης ονομάζονται απλά ισοδύναμοι.

Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών

Μια στοιχειώδης πράξη γραμμών είναι οποιαδήποτε από τις ακόλουθες κινήσεις:

1. Αλλαγή γραμμής: Ανταλλάσσει δύο γραμμές ενός πίνακα.
2. Πολλαπλασιασμός σειρών: Πολλαπλασιάζει μια γραμμή ενός πίνακα με μια μη μηδενική σταθερά.
3. Προσθήκη σειράς: Προσθέτει ένα πολλαπλάσιο μιας γραμμής ενός πίνακα σε μια άλλη γραμμή.

Δύο πίνακες Α και Β είναι ισοδύναμοι σε σειρά αν είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί ο Α σε Β με μια ακολουθία στοιχειωδών πράξεων σε σειρά.

Χώρος γραμμών

Κύριο άρθρο: Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών

Ο χώρος γραμμών ενός πίνακα είναι το σύνολο όλων των δυνατών γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων γραμμών του. Εάν οι γραμμές του πίνακα αντιπροσωπεύουν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, τότε ο χώρος γραμμών αποτελείται από όλες τις γραμμικές εξισώσεις που μπορούν να συναχθούν αλγεβρικά από αυτές του συστήματος. Δύο πίνακες m × n είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών.

Για παράδειγμα, οι πίνακες

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\text{και}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

είναι ισοδύναμες με γραμμές, με το χώρο γραμμών να είναι όλα τα διανύσματα της μορφής $\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\end{array}\right)$. Τα αντίστοιχα συστήματα ομογενών εξισώσεων μεταφέρουν την ίδια πληροφορία:

$\begin{array}{c}x=0\\ y+z=0\end{array}\text{και}\begin{array}{c}x=0\\ x+y+z=0.\end{array}$

Ειδικότερα, και τα δύο αυτά συστήματα συνεπάγονται κάθε εξίσωση της μορφής $ax+by+bz=0.$

Ισοδυναμία των ορισμών

Το γεγονός ότι δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη γραμμική άλγεβρα. Η απόδειξη βασίζεται στις ακόλουθες παρατηρήσεις:

1. Οι στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές δεν επηρεάζουν το χώρο γραμμών ενός πίνακα. Συγκεκριμένα, δύο ισοδύναμοι πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών.
2. Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να αναιρεθεί με στοιχειώδεις πράξεις πράξεις γραµµών σε έναν πίνακα σε μορφή μειωμένης κλιμακωτής γραμμής.
3. Δύο πίνακες σε μορφή μειωμένης κλιμακωτής γραμμής έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών αν και μόνο αν είναι ίσοι.

Αυτός ο συλλογισμός αποδεικνύει επίσης ότι κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν μοναδικό πίνακα με μειωμένη κλιμακωτή μορφή.

Πρόσθετες ιδιότητες

• Επειδή ο μηδενοχώρος ενός πίνακα είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου των γραμμών, δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο μηδενικό χώρο.
• Ο βαθμός ενός πίνακα είναι ίσος με τη διάσταση του χώρου γραμμών, οπότε οι ισοδύναμοι πίνακες γραμμών πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό. Αυτό είναι ίσο με τον αριθμό των στυλοβατών στη μειωμένη μορφή κλιμακωτής γραμμής.
• Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι ισοδύναμος με τον ταυτοτικό πίνακα.
• Οι πίνακες A και B είναι ισοδύναμοι στη σειρά αν και μόνο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε A=PB.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite journal

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Άλγεβρα Μπουλ
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Σχέση ισοδυναμίας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
• Multidimensional Statistical Analysis and Theory of Random Matrices ...
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Computer Analysis of Images and Patterns: 16th International Conference ...
• Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics ..
• Matrix Operations for Engineers and Scientists: An Essential Guide in Linear ........
• Hadamard Matrices and Their Applications.

Παραπομπές

• Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (chapter from Hartley & Zisserman)
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book