Κατάλογος ολοκληρωμάτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο.

Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο.Ακολουθεί ο κατάλογος των ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για τα αντιπαραγωγικά που περιλαμβάνουν τόσο εκθετικές όσο και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ανατρέξτε στην ενότητα Κατάλογος ολοκληρωμάτων εκθετικών συναρτήσεων. Για έναν πλήρη κατάλογο αντιπαραγωγικών συναρτήσεων, ανατρέξτε στην ενότητα Λίστες ολοκληρωμάτων. Για τα ειδικά αντιπαραγωγικά που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις, βλέπε Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα.

Γενικά, αν η συνάρτηση $\sin x$ είναι οποιαδήποτε τριγωνομετρική συνάρτηση και $\cos x$ είναι η παράγωγός της,

$\int a\cos nxdx=\frac{a}{n}\sin nx+C$

Σε όλους τους τύπους η σταθερά a θεωρείται μη μηδενική και C δηλώνει τη σταθερά ολοκλήρωσης.

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει μόνο το ημίτονο

• $\int \sin axdx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$
• $\int {\sin }^{2}axdx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4a}\sin 2ax+C=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C$
• $\int {\sin }^{3}axdx=\frac{\cos 3ax}{12a}-\frac{3\cos ax}{4a}+C$
• $\int x{\sin }^{2}axdx=\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4a}\sin 2ax-\frac{1}{8a^2}\cos 2ax+C$
• $\int x^2{\sin }^{2}axdx=\frac{x^3}{6}-(\frac{x^2}{4a}-\frac{1}{8a^3})\sin 2ax-\frac{x}{4a^2}\cos 2ax+C$
• $\int x\sin axdx=\frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C$
• $\int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)dx=\frac{\sin ((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin ((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C\text{(for }|b_1|\ne |b_2|\text{)}$
• $\int {\sin }^{n}axdx=-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{na}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}axdx\text{(for }n>0\text{)}$
• $\int \frac{dx}{\sin ax}=-\frac{1}{a}\ln |\csc ax+\cot ax|+C$
• $\int \frac{dx}{{\sin }^{n}ax}=\frac{\cos ax}{a(1-n){\sin }^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\sin }^{n-2}ax}\text{(for }n>1\text{)}$
• $\begin{array}{cc}\int x^n\sin axdx& =-\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos axdx\\ & =\sum _{k=0}^{2k\le n}(-1{)}^{k+1}\frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!}\sin ax\\ & =-\sum _{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos (ax+k\frac{\pi }{2})\text{(for }n>0\text{)}\end{array}$
• $\int \frac{\sin ax}{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(ax{)}^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}+C$
• $\int \frac{\sin ax}{x^n}dx=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\int \frac{\cos ax}{x^{n-1}}dx$
• $\int \sin \mathrm{(}{ax}^2\mathrm{+}bx\mathrm{+}c\mathrm{)}dx\mathrm{=}\{\begin{array}{cc}& \sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi }}{2}}\cos \left(\frac{b^2\mathrm{-}4ac}{4a}\right)S\left(\frac{2ax\mathrm{+}b}{\sqrt{2a\mathit{\pi }}}\right)\mathrm{+}\sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi }}{2}}\sin \left(\frac{b^2\mathrm{-}4ac}{4a}\right)C\left(\frac{2ax\mathrm{+}b}{\sqrt{2a\mathit{\pi }}}\right)to{b}^2\mathrm{-}4ac>0\\ & \sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi }}{2}}\cos \left(\frac{b^2\mathrm{-}4ac}{4a}\right)S\left(\frac{2ax\mathrm{+}b}{\sqrt{2a\mathit{\pi }}}\right)\mathrm{-}\sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi }}{2}}\sin \left(\frac{b^2\mathrm{-}4ac}{4a}\right)C\left(\frac{2ax\mathrm{+}b}{\sqrt{2a\mathit{\pi }}}\right)to{b}^2\mathrm{-}4ac<0\end{array}fora╱\mathrm{=}0,a>0$
• $\int \frac{dx}{1\pm \sin ax}=\frac{1}{a}\tan (\frac{ax}{2}\mp \frac{\pi }{4})+C$
• $\int \frac{xdx}{1+\sin ax}=\frac{x}{a}\tan (\frac{ax}{2}-\frac{\pi }{4})+\frac{2}{a^2}\ln |\cos (\frac{ax}{2}-\frac{\pi }{4})|+C$
• $\int \frac{xdx}{1-\sin ax}=\frac{x}{a}\cot (\frac{\pi }{4}-\frac{ax}{2})+\frac{2}{a^2}\ln |\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{ax}{2})|+C$
• $\int \frac{\sin axdx}{1\pm \sin ax}=\pm x+\frac{1}{a}\tan (\frac{\pi }{4}\mp \frac{ax}{2})+C$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνουν μόνο συνημίτονο

• $\int \cos axdx=\frac{1}{a}\sin ax+C$
• $\int {\cos }^{2}axdx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\sin 2ax+C=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C$
• $\int {\cos }^{n}axdx=\frac{{\cos }^{n-1}ax\sin ax}{na}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}axdx\text{(for }n>0\text{)}$
• $\int x\cos axdx=\frac{\cos ax}{a^2}+\frac{x\sin ax}{a}+C$
• $\int x^2{\cos }^{2}axdx=\frac{x^3}{6}+(\frac{x^2}{4a}-\frac{1}{8a^3})\sin 2ax+\frac{x}{4a^2}\cos 2ax+C$
• $\begin{array}{cc}\int x^n\cos axdx& =\frac{x^n\sin ax}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin axdx\\ & =\sum _{k=0}^{2k+1\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!}\sin ax\\ & =\sum _{k=0}^n(-1{)}^{\lfloor k/2\rfloor }\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos (ax-\frac{(-1{)}^k+1}{2}\frac{\pi }{2})\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin (ax+k\frac{\pi }{2})\text{(for }n>0\text{)}\end{array}$
• $\int \frac{\cos ax}{x}dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(ax{)}^{2k}}{2k\cdot (2k)!}+C$
• $\int \frac{\cos ax}{x^n}dx=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int \frac{\sin ax}{x^{n-1}}dx\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{dx}{\cos ax}=\frac{1}{a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$
• $\int \frac{dx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{\sin ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\cos }^{n-2}ax}\text{(for }n>1\text{)}$
• $\int \frac{dx}{1+\cos ax}=\frac{1}{a}\tan \frac{ax}{2}+C$
• $\int \frac{dx}{1-\cos ax}=-\frac{1}{a}\cot \frac{ax}{2}+C$
• $\int \frac{xdx}{1+\cos ax}=\frac{x}{a}\tan \frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln |\cos \frac{ax}{2}|+C$
• $\int \frac{xdx}{1-\cos ax}=-\frac{x}{a}\cot \frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln |\sin \frac{ax}{2}|+C$
• $\int \frac{\cos axdx}{1+\cos ax}=x-\frac{1}{a}\tan \frac{ax}{2}+C$
• $\int \frac{\cos axdx}{1-\cos ax}=-x-\frac{1}{a}\cot \frac{ax}{2}+C$
• $\int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)dx=\frac{\sin ((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin ((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C\text{(for }|a_1|\ne |a_2|\text{)}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει μόνο εφαπτομένη

• $\int \tan axdx=-\frac{1}{a}\ln |\cos ax|+C=\frac{1}{a}\ln |\sec ax|+C$
• $\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C$
• $\int {\tan }^{n}axdx=\frac{1}{a(n-1)}{\tan }^{n-1}ax-\int {\tan }^{n-2}axdx\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{dx}{q\tan ax+p}=\frac{1}{p^2+q^2}(px+\frac{q}{a}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\text{(for }{p}^2+q^2\ne 0\text{)}$
• $\int \frac{dx}{\tan ax\pm 1}=\pm \frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C$
• $\int \frac{\tan axdx}{\tan ax\pm 1}=\frac{x}{2}\mp \frac{1}{2a}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει μόνο τέμνουσα

• $\int \sec axdx=\frac{1}{a}\ln |\sec ax+\tan ax|+C=\frac{1}{a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C=\frac{1}{a}\mathrm{artanh}(\sin ax)+C$
• $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
• $\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C.$
• $\int {\sec }^{n}axdx=\frac{{\sec }^{n-2}ax\tan ax}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}axdx\text{ (for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{dx}{\sec x+1}=x-\tan \frac{x}{2}+C$
• $\int \frac{dx}{\sec x-1}=-x-\cot \frac{x}{2}+C$

• $\int \frac{\sin x}{\cos x}=\int \tan x$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει ημίτονο και συνημίτονο

Ένα ολοκλήρωμα που είναι ρητή συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημιτόνου μπορεί να αξιολογηθεί χρησιμοποιώντας τους κανόνες του Βιοσέ.

• $\int \frac{dx}{\cos ax\pm \sin ax}=\frac{1}{a\sqrt{2}}\ln |\tan (\frac{ax}{2}\pm \frac{\pi }{8})|+C$
• $\int \frac{dx}{(\cos ax\pm \sin ax{)}^2}=\frac{1}{2a}\tan (ax\mp \frac{\pi }{4})+C$
• $\int \frac{dx}{(\cos x+\sin x{)}^n}=\frac{1}{2(n-1)}(\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x{)}^{n-1}}+(n-2)\int \frac{dx}{(\cos x+\sin x{)}^{n-2}})$
• $\int \frac{\cos axdx}{\cos ax+\sin ax}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$
• $\int \frac{\cos axdx}{\cos ax-\sin ax}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$
• $\int \frac{\sin axdx}{\cos ax+\sin ax}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$
• $\int \frac{\sin axdx}{\cos ax-\sin ax}=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$
• $\int \frac{\cos axdx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}=-\frac{1}{4a}{\tan }^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\tan \frac{ax}{2}|+C$
• $\int \frac{\cos axdx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}=-\frac{1}{4a}{\cot }^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\tan \frac{ax}{2}|+C$
• $\int \frac{\sin axdx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}=\frac{1}{4a}{\cot }^2(\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$
• $\int \frac{\sin axdx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}=\frac{1}{4a}{\tan }^2(\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})-\frac{1}{2a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$
• $\int (\sin ax)(\cos ax)dx=\frac{1}{2a}{\sin }^{2}ax+C$
• $\int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)dx=-\frac{\cos ((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)}-\frac{\cos ((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)}+C\text{(for }|a_1|\ne |a_2|\text{)}$
• $\int ({\sin }^{n}ax)(\cos ax)dx=\frac{1}{a(n+1)}{\sin }^{n+1}ax+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$
• $\int (\sin ax)({\cos }^{n}ax)dx=-\frac{1}{a(n+1)}{\cos }^{n+1}ax+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$
• $\begin{array}{cc}\int ({\sin }^{n}ax)({\cos }^{m}ax)dx& =-\frac{({\sin }^{n-1}ax)({\cos }^{m+1}ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int ({\sin }^{n-2}ax)({\cos }^{m}ax)dx\text{(for }m,n>0\text{)}\\ & =\frac{({\sin }^{n+1}ax)({\cos }^{m-1}ax)}{a(n+m)}+\frac{m-1}{n+m}\int ({\sin }^{n}ax)({\cos }^{m-2}ax)dx\text{(for }m,n>0\text{)}\end{array}$
• $\int \frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)}=\frac{1}{a}\ln |\tan ax|+C$
• $\int \frac{dx}{(\sin ax)({\cos }^{n}ax)}=\frac{1}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{(\sin ax)({\cos }^{n-2}ax)}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{dx}{({\sin }^{n}ax)(\cos ax)}=-\frac{1}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{({\sin }^{n-2}ax)(\cos ax)}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{\sin axdx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{1}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+C\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{{\sin }^{2}axdx}{\cos ax}=-\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln |\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{ax}{2})|+C$
• $\int \frac{{\sin }^{2}axdx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{\sin ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int \frac{dx}{{\cos }^{n-2}ax}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\begin{array}{cc}\int \frac{{\sin }^{2}x}{1+{\cos }^{2}x}dx& =\sqrt{2}\mathrm{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)-x\text{(for x in}]-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}[\text{)}\\ & =\sqrt{2}\mathrm{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)-\mathrm{arctangant}(\tan x)\text{(this time x being any real number }\text{)}\end{array}$
• $\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{\cos ax}=-\frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{\cos ax}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{{\cos }^{m}ax}=\{\begin{array}{cc}\frac{{\sin }^{n+1}ax}{a(m-1){\cos }^{m-1}ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{{\cos }^{m-2}ax}& \text{(for }m\ne 1\text{)}\\ \frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(m-1){\cos }^{m-1}ax}-\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{{\cos }^{m-2}ax}& \text{(for }m\ne 1\text{)}\\ -\frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(n-m){\cos }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{{\cos }^{m}ax}& \text{(for }m\ne n\text{)}\end{array}$
• $\int \frac{\cos axdx}{{\sin }^{n}ax}=-\frac{1}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}+C\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{{\cos }^{2}axdx}{\sin ax}=\frac{1}{a}(\cos ax+\ln |\tan \frac{ax}{2}|)+C$
• $\int \frac{{\cos }^{2}axdx}{{\sin }^{n}ax}=-\frac{1}{n-1}(\frac{\cos ax}{a{\sin }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{{\sin }^{n-2}ax})\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \frac{{\cos }^{n}axdx}{{\sin }^{m}ax}=\{\begin{array}{cc}-\frac{{\cos }^{n+1}ax}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\cos }^{n}axdx}{{\sin }^{m-2}ax}& \text{(for }n\ne 1\text{)}\\ -\frac{{\cos }^{n-1}ax}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax}-\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\cos }^{n-2}axdx}{{\sin }^{m-2}ax}& \text{(for }m\ne 1\text{)}\\ \frac{{\cos }^{n-1}ax}{a(n-m){\sin }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\cos }^{n-2}axdx}{{\sin }^{m}ax}& \text{(for }m\ne n\text{)}\end{array}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει ημίτονο και εφαπτομένη

• $\int (\sin ax)(\tan ax)dx=\frac{1}{a}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C$
• $\int \frac{{\tan }^{n}axdx}{{\sin }^{2}ax}=\frac{1}{a(n-1)}{\tan }^{n-1}(ax)+C\text{(for }n\ne 1\text{)}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και συνημίτονο και εφαπτομένη

• $\int \frac{{\tan }^{n}axdx}{{\cos }^{2}ax}=\frac{1}{a(n+1)}{\tan }^{n+1}ax+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και ημίτονο και συνεφαπτομένη

• $\int \frac{{\cot }^{n}axdx}{{\sin }^{2}ax}=-\frac{1}{a(n+1)}{\cot }^{n+1}ax+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και συνημίτονο και συνεφαπτομένη

• $\int \frac{{\cot }^{n}axdx}{{\cos }^{2}ax}=\frac{1}{a(1-n)}{\tan }^{1-n}ax+C\text{(for }n\ne 1\text{)}$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και τέμνουσα και εφαπτομένη

• $\int (\sec x)(\tan x)dx=\sec x+C$

Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και συντεμνούσα και συνεφαπτομένη

• $\int (\csc x)(\cot x)dx=-\csc x+C$

Ολοκληρώματα τρίμηνης περιόδου

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση βήτα $B(a,b)$ μπορούμε να γράψουμε

• $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{1}{2}B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\{\begin{array}{cc}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3},& \text{if }n\text{ is odd and more than 1}\\ 1,& \text{if }n=1\end{array}$

Χρησιμοποιώντας τις τροποποιημένες συναρτήσεις Στρουβ $L_{\alpha }(x)$ και τις τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ $I_{\alpha }(x)$ μπορούμε να γράψουμε

• $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\exp (k\cdot \sin (x))dx=\frac{\pi }{2}(I_0(k)+L_0(k))$

Ολοκληρώματα με συμμετρικά όρια

• $\underset{-c}{\overset{c}{\int }}\sin xdx=0$
• $\underset{-c}{\overset{c}{\int }}\cos xdx=2\underset{0}{\overset{c}{\int }}\cos xdx=2\underset{-c}{\overset{0}{\int }}\cos xdx=2\sin c$
• $\underset{-c}{\overset{c}{\int }}\tan xdx=0$
• $\underset{-\frac{a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{x}^2{\cos }^2\frac{n\pi x}{a}dx=\frac{a^3(n^2{\pi }^2-6)}{24n^2{\pi }^2}\text{(for }n=1,3,5...\text{)}$
• $\underset{\frac{-a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{x}^2{\sin }^2\frac{n\pi x}{a}dx=\frac{a^3(n^2{\pi }^2-6(-1{)}^n)}{24n^2{\pi }^2}=\frac{a^3}{24}(1-6\frac{(-1{)}^n}{n^2{\pi }^2})\text{(for }n=1,2,3,...\text{)}$

Ολοκλήρωμα πάνω από έναν πλήρη κύκλο

• $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^{2m+1}x{\cos }^{n}xdx=0n,m\in \mathbb{Z}$
• $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^{m}x{\cos }^{2n+1}xdx=0n,m\in \mathbb{Z}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Δυναμοσειρές
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite web

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation