Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των υπερβολικών συναρτήσεων. Για έναν πλήρη κατάλογο ολοκληρωτικών συναρτήσεων, δείτε τον κατάλογο ολοκληρωτικών.

Σε όλους τους τύπους η σταθερά a θεωρείται μη μηδενική και το C δηλώνει τη σταθερά ολοκλήρωσης.

Τύποι ολοκλήρωσης μόνο υπερβολικές συναρτήσεις ημιτόνου

• $\int \sinh axdx=\frac{1}{a}\cosh ax+C$
• $\int {\sinh }^{2}axdx=\frac{1}{4a}\sinh 2ax-\frac{x}{2}+C$
• $\int {\sinh }^{n}axdx=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{an}({\sinh }^{n-1}ax)(\cosh ax)-\frac{n-1}{n}\int {\sinh }^{n-2}axdx,& n>0\\ \frac{1}{a(n+1)}({\sinh }^{n+1}ax)(\cosh ax)-\frac{n+2}{n+1}\int {\sinh }^{n+2}axdx,& n<0,n\ne -1\end{array}$
• $\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sinh ax}& =\frac{1}{a}\ln |\tanh \frac{ax}{2}|+C\\ & =\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\cosh ax+1}{\sinh ax}\right|+C\\ & =\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\sinh ax}{\cosh ax+1}\right|+C\\ & =\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{\cosh ax-1}{\cosh ax+1}\right|+C\end{array}$
• $\int \frac{dx}{{\sinh }^{n}ax}=-\frac{\cosh ax}{a(n-1){\sinh }^{n-1}ax}-\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\sinh }^{n-2}ax}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int x\sinh axdx=\frac{1}{a}x\cosh ax-\frac{1}{a^2}\sinh ax+C$
• $\int (\sinh ax)(\sinh bx)dx=\frac{1}{a^2-b^2}(a(\sinh bx)(\cosh ax)-b(\cosh bx)(\sinh ax))+C\text{(for }{a}^2\ne b^2\text{)}$

Τύποι ολοκλήρωσης μόνο υπερβολικές συναρτήσεις συνημιτόνου

• $\int \cosh axdx=\frac{1}{a}\sinh ax+C$
• $\int {\cosh }^{2}axdx=\frac{1}{4a}\sinh 2ax+\frac{x}{2}+C$
• $\int {\cosh }^{n}axdx=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{an}(\sinh ax)({\cosh }^{n-1}ax)+\frac{n-1}{n}\int {\cosh }^{n-2}axdx,& n>0\\ -\frac{1}{a(n+1)}(\sinh ax)({\cosh }^{n+1}ax)+\frac{n+2}{n+1}\int {\cosh }^{n+2}axdx,& n<0,n\ne -1\end{array}$
• $\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\cosh ax}& =\frac{2}{a}\arctan e^{ax}+C\\ & =\frac{1}{a}\arctan (\sinh ax)+C\end{array}$
• $\int \frac{dx}{{\cosh }^{n}ax}=\frac{\sinh ax}{a(n-1){\cosh }^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\cosh }^{n-2}ax}\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int x\cosh axdx=\frac{1}{a}x\sinh ax-\frac{1}{a^2}\cosh ax+C$
• $\int x^2\cosh axdx=-\frac{2x\cosh ax}{a^2}+(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3})\sinh ax+C$
• $\int (\cosh ax)(\cosh bx)dx=\frac{1}{a^2-b^2}(a(\sinh ax)(\cosh bx)-b(\sinh bx)(\cosh ax))+C\text{(for }{a}^2\ne b^2\text{)}$
• $\int \frac{dx}{1+\cosh (ax)}=\frac{2}{a}\frac{1}{1+e^{-ax}}+C$ ή $\frac{2}{a}$ επί τη λογιστική συνάρτηση

Λοιπά ολοκληρώματα

Ολοκληρώματα των υπερβολικών εφαπτόμενων, συνεφαπτομένων, τεμνουσών, συντεμνουσών συναρτήσεων

• $\int \tanh xdx=\ln \cosh x+C$
• $\int {\tanh }^{2}axdx=x-\frac{\tanh ax}{a}+C$
• $\int {\tanh }^{n}axdx=-\frac{1}{a(n-1)}{\tanh }^{n-1}ax+\int {\tanh }^{n-2}axdx\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C,\text{ for }x\ne 0$
• $\int {\coth }^{n}axdx=-\frac{1}{a(n-1)}{\coth }^{n-1}ax+\int {\coth }^{n-2}axdx\text{(for }n\ne 1\text{)}$
• $\int \mathrm{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$
• $\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C=\ln |\coth x-\mathrm{csch}x|+C,\text{ for }x\ne 0$

Τύποι ολοκλήρωσης των υπερβολικών συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου

• $\int (\cosh ax)(\sinh bx)dx=\frac{1}{a^2-b^2}(a(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx))+C\text{(for }{a}^2\ne b^2\text{)}$
• $\begin{array}{cc}\int \frac{{\cosh }^{n}ax}{{\sinh }^{m}ax}dx& =\frac{{\cosh }^{n-1}ax}{a(n-m){\sinh }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\cosh }^{n-2}ax}{{\sinh }^{m}ax}dx\text{(for }m\ne n\text{)}\\ & =-\frac{{\cosh }^{n+1}ax}{a(m-1){\sinh }^{m-1}ax}+\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\cosh }^{n}ax}{{\sinh }^{m-2}ax}dx\text{(for }m\ne 1\text{)}\\ & =-\frac{{\cosh }^{n-1}ax}{a(m-1){\sinh }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\cosh }^{n-2}ax}{{\sinh }^{m-2}ax}dx\text{(for }m\ne 1\text{)}\end{array}$
• $\begin{array}{cc}\int \frac{{\sinh }^{m}ax}{{\cosh }^{n}ax}dx& =\frac{{\sinh }^{m-1}ax}{a(m-n){\cosh }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-m}\int \frac{{\sinh }^{m-2}ax}{{\cosh }^{n}ax}dx\text{(for }m\ne n\text{)}\\ & =\frac{{\sinh }^{m+1}ax}{a(n-1){\cosh }^{n-1}ax}+\frac{m-n+2}{n-1}\int \frac{{\sinh }^{m}ax}{{\cosh }^{n-2}ax}dx\text{(for }n\ne 1\text{)}\\ & =-\frac{{\sinh }^{m-1}ax}{a(n-1){\cosh }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-1}\int \frac{{\sinh }^{m-2}ax}{{\cosh }^{n-2}ax}dx\text{(for }n\ne 1\text{)}\end{array}$

Τύποι ολοκλήρωσης των υπερβολικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• $\int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\cosh (ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh (ax+b)\cos (cx+d)+C$
• $\int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\cosh (ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh (ax+b)\sin (cx+d)+C$
• $\int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\sinh (ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh (ax+b)\cos (cx+d)+C$
• $\int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\sinh (ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh (ax+b)\sin (cx+d)+C$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Δυναμοσειρές
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite web

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation