Ορίζουσα Βρόνσκι

Γεωμετρική αναπαράσταση της ορίζουσας Βρόνσκι

Στα μαθηματικά, η Ορίζουσα Βρόνσκι των n διαφορικών συναρτήσεων είναι η ορίζουσα που σχηματίζεται με τις συναρτήσεις και τις παραγώγους τους μέχρι την τάξη Πρότυπο:Nowrap. Εισήχθη το 1812 από τον Πολωνό μαθηματικό Γιόζεφ Βρόνσκι και χρησιμοποιείται στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, όπου μερικές φορές μπορεί να δείξει τη γραμμική ανεξαρτησία ενός συνόλου λύσεων.

Ορισμός

Η Ορίζουσα Βρόνσκι δύο διαφορίσιμων συναρτήσεων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math is $W(f,g)=f{g}^{\prime }-g{f}^{\prime }$.

Γενικότερα, για Πρότυπο:Math πραγματικής ή μιγαδικής αξίας συναρτήσεις Πρότυπο:Math, οι οποίες είναι Πρότυπο:Math φορές διαφορίσιμες σε ένα διάστημα Πρότυπο:Math, η ορίζουσα Βρόνσκι $W(f_1,\dots ,f_n)$ είναι μια συνάρτηση στο $x\in I$ που ορίζεται ως εξής

$W(f_1,\dots ,f_n)(x)=\det \left[\begin{array}{cccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\ {f_1}^{\prime }(x)& {f_2}^{\prime }(x)& \cdots & {f_n}^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x)& \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right].$

Αυτή είναι η ορίζουσα του πίνακα που κατασκευάζεται τοποθετώντας τις συναρτήσεις στην πρώτη γραμμή, τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων στη δεύτερη γραμμή, και ούτω καθεξής μέχρι την $(n-1{)}^{\text{th}}$ παράγωγο, σχηματίζοντας έτσι έναν τετραγωνικό πίνακα.

Όταν οι συναρτήσεις Πρότυπο:Math είναι λύσεις μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, η ορίζουσα Βρόνσκι μπορεί να βρεθεί ρητά χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Άμπελ, ακόμη και αν οι συναρτήσεις Πρότυπο:Math δεν είναι ρητά γνωστές. (Βλέπε παρακάτω.)

Η ορίζουσα Βρόνσκι και η γραμμική ανεξαρτησία

Αν οι συναρτήσεις Πρότυπο:Math είναι γραμμικά εξαρτημένες, τότε το ίδιο ισχύει και για τις στήλες της ορίζουσας Βρόνσκι (αφού η διαφοροποίηση είναι γραμμική πράξη) και η ορίζουσα Βρόνσκι εξαλείφεται. Έτσι, μπορεί κανείς να δείξει ότι ένα σύνολο διαφορικών συναρτήσεων είναι γραμμικά ανεξάρτητο σε ένα διάστημα δείχνοντας ότι η ορίζουσα Βρόνσκι τους δεν εξαλείφεται πανομοιότυπα. Μπορεί, ωστόσο, να εξαλείφεται σε απομονωμένα σημεία .

Μια συνήθης παρανόηση είναι ότι Πρότυπο:Math παντού συνεπάγεται γραμμική εξάρτηση. Ο Πεάνο (Πρότυπο:Harvtxt) επεσήμανε ότι οι συναρτήσεις Πρότυπο:Math και |x| · x έχουν συνεχείς παραγώγους και η ορίζουσα Βρόνσκι τους εξαλείφεται παντού, ωστόσο δεν είναι γραμμικά εξαρτημένες σε καμία γειτονιά του Πρότυπο:Math.Πρότυπο:Efn Υπάρχουν αρκετές επιπλέον συνθήκες που συνδυάζονται με την εξάλειψη της ορίζουσας Βρόνσκι σε ένα διάστημα για να υποδηλώνουν γραμμική εξάρτηση.

• Ο Μαξίμ Μποσέρ παρατήρησε ότι αν οι συναρτήσεις είναι αναλυτικές, τότε η εξαφάνιση της Wrońskian σε ένα διάστημα συνεπάγεται ότι είναι γραμμικά εξαρτημένες
• Ο Μποσέρ (Πρότυπο:Harvtxt) έδωσε διάφορες άλλες συνθήκες για να συνεπάγεται η εξαφάνιση της Ορίζουσας Βρόνσκι γραμμική εξάρτηση- παραδείγματος χάριν, αν η Ορίζουσα Βρόνσκι n συναρτήσεων είναι πανομοιότυπα μηδέν και οι n Ορίζουσες Βρόνσκι n - 1 από αυτές δεν εξαλείφονται όλες σε οποιοδήποτε σημείο, τότε οι συναρτήσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες.
• Ο Γούλσον (Πρότυπο:Harvtxt) έδωσε μια πιο γενική συνθήκη που μαζί με την εξάλειψη της Ορίζουσας Βρόνσκι συνεπάγεται γραμμική εξάρτηση.

Σε σώματα θετικής χαρακτηριστικής Πρότυπο:Math η ορίζουσα Βρόνσκι μπορεί να εξαφανιστεί ακόμη και για γραμμικά ανεξάρτητα πολυώνυμα- παραδείγματος χάριν, η ορίζουσα Βρόνσκι των x^p και 1 είναι πανομοιότυπα 0.

Εφαρμογή σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Γενικά, για μια γραμμική διαφορική εξίσωση $n$-οστής τάξης, αν είναι γνωστές οι $(n-1)$ λύσεις, η τελευταία μπορεί να προσδιοριστεί με τη χρήση της της Ορίζουσας Βρόνσκι.

Ας θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης στο συμβολισμό του Λαγκράνζ: $y^{″}=a(x)y^{\prime }+b(x)y$ όπου $a(x)$, $b(x)$ είναι γνωστά και y είναι η άγνωστη συνάρτηση που πρέπει να βρεθεί. Ας ονομάσουμε $y_1,y_2$ τις δύο λύσεις της εξίσωσης και ας σχηματίσουμε την ορίζουσα Βρόνσκι τους $W(x)=y_{1}y{\text{'}}_2-y_{2}y{\text{'}}_1$

Στη συνέχεια, η διαφοροποίηση του $W(x)$ και η χρήση του γεγονότος ότι το $y_i$ υπακούει στην παραπάνω διαφορική εξίσωση δείχνει ότι $W^{\prime }(x)=aW(x)$

Επομένως, η ορίζουσα Βρόνσκι υπακούει σε μια απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης και μπορεί να επιλυθεί με ακρίβεια: $W(x)=C{e}^{A(x)}$ όπου $A^{\prime }(x)=a(x)$ και $C$ είναι μια σταθερά.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι γνωρίζουμε μία από τις λύσεις, ας πούμε $y_2$. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της ορίζουσας Βρόνσκι, η $y_1$ υπακούει σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης: $y{\text{'}}_1-\frac{y{\text{'}}_2}{y_2}{y}_1=-W(x)/y_2$ και μπορεί να επιλυθεί με ακρίβεια (τουλάχιστον θεωρητικά).

Η μέθοδος γενικεύεται εύκολα σε εξισώσεις ανώτερης τάξης.

Γενικευμένες Ορίζουσες Βρόνσκι

Για Πρότυπο:Math συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, μια γενικευμένη ορίζουσα Βρόνσκι είναι μια ορίζουσα ενός πίνακα Πρότυπο:Math επί Πρότυπο:Math με καταχωρήσεις Πρότυπο:Math (με Πρότυπο:Math), όπου κάθε Πρότυπο:Math είναι κάποιος γραμμικός μερικός διαφορικός τελεστής σταθερού συντελεστή τάξης Πρότυπο:Math. Εάν οι συναρτήσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες, τότε όλες οι γενικευμένες ορίζουσες Βρόνσκι εξαλείφονται. Όπως και στην περίπτωση μιας μεταβλητής, το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά: αν όλες οι γενικευμένες ορίζουσες Βρόνσκι εξαλείφονται, αυτό δεν σημαίνει ότι οι συναρτήσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Ωστόσο, το αντίστροφο ισχύει σε πολλές ειδικές περιπτώσεις. Παραδείγματος χάριν, εάν οι συναρτήσεις είναι πολυώνυμα και όλες οι γενικευμένες ορίζουσες Βρόνσκι εξαλείφονται, τότε οι συναρτήσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Ο Ροθ χρησιμοποίησε αυτό το αποτέλεσμα σχετικά με τις γενικευμένες ορίζουσες Βρόνσκι στην απόδειξη του θεωρήματος του Ροθ. Για γενικότερες συνθήκες υπό τις οποίες ισχύει το αντίστροφο βλέπε Γούλσον Πρότυπο:Harvtxt.

Ιστορία

Η ορίζουσα Βρόνσκι εισήχθη από τον Γιόζεφ Χόενε-Βρόνσκι (Πρότυπο:Harvs) και πήρε το σημερινό της όνομα από τον Τόμας Μιούρ (Πρότυπο:Harvs).

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite journal

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Άλγεβρα Μπουλ
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Σχέση ισοδυναμίας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
• Multidimensional Statistical Analysis and Theory of Random Matrices ...
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Computer Analysis of Images and Patterns: 16th International Conference ...
• High Performance Algorithms for Structured Matrix Problems ..
• Matrix Operations for Engineers and Scientists: An Essential Guide in Linear ........
• Applied Mathematical Methods...

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Wronskian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation