Πίνακας Γουάλς

Ο Πίνακας Χανταμάρ 16ης τάξης πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα

Φυσικά διατεταγμένος πίνακας Χανταμάρ που μετασχηματίζεται σε διατεταγμένο πίνακα Γουάλς. Ο αριθμός των αλλαγών προσήμου ανά γραμμή στον φυσικά διατεταγμένο πίνακα είναι (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10), στον ταξινομημένο κατά σειρά πίνακα ο αριθμός των αλλαγών προσήμου είναι διαδοχικός.

Αποσύνθεση LDU ενός πίνακα Χανταμάρ. Τα αντίστοιχα των τριγωνικών πινάκων σχηματίζουν τρίγωνα Σιερπίνσκι. Οι καταχωρήσεις του διαγώνιου πίνακα είναι τιμές από την ακολουθία του Γκουλντ, με τα πρόσημα μείον να κατανέμονται όπως αυτά στην ακολουθία Θουέ-Μορς.

Δυαδικός πίνακας Χανταμάρ ως γινόμενο πίνακα. Ο δυαδικός πίνακας (λευκό 0, κόκκινο 1) είναι το αποτέλεσμα με τις πράξεις στο F₂. Οι γκρίζοι αριθμοί δείχνουν το αποτέλεσμα με πράξεις σε $\mathbb{N}$.

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Γουάλς είναι ένας συγκεκριμένος τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων 2Πρότυπο:Sup, όπου n είναι κάποιος συγκεκριμένος φυσικός αριθμός. Οι καταχωρήσεις του πίνακα είναι είτε +1 είτε -1 και οι γραμμές καθώς και οι στήλες του είναι ορθογώνιες. Ο πίνακας Γουάλς προτάθηκε από τον Τζόζεφ Λ. Γουάλς το 1923. Κάθε γραμμή ενός πίνακα Γουάλς αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση Γουάλς.

Οι πίνακες Γουάλς είναι μια ειδική περίπτωση των πινάκων Χανταμάρ όπου οι γραμμές αναδιατάσσονται έτσι ώστε ο αριθμός των αλλαγών προσήμου σε μια γραμμή να είναι σε αύξουσα σειρά. Εν ολίγοις, ένας πίνακας Χαντάμαρ ορίζεται από τον παρακάτω αναδρομικό τύπο και είναι φυσικά διατεταγμένος, ενώ ένας πίνακας Γουάλς είναι διατεταγμένος με σειρά. Συγκεχυμένα, διαφορετικές πηγές αναφέρονται σε κάθε πίνακα ως πίνακα Γουάλς.

Ο πίνακας Γουάλς (και οι συναρτήσεις Γουάλς) χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του μετασχηματισμού Γουάλς και έχουν εφαρμογές στην αποδοτική υλοποίηση ορισμένων λειτουργιών επεξεργασίας σήματος.

Τύπος

Οι πίνακες Χανταμάρ με διάσταση $2^k$ για $k\in \mathbb{N}$ δίνονται από τον αναδρομικό τύπο (η χαμηλότερη τάξη του πίνακα Χανταμάρ είναι 2):

$\begin{array}{cc}H\left(2^1\right)& =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],\\ H\left(2^2\right)& =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right],\end{array}$

και γενικότερα

$H\left(2^k\right)=\left[\begin{array}{cc}H\left(2^{k-1}\right)& H\left(2^{k-1}\right)\\ H\left(2^{k-1}\right)& -H\left(2^{k-1}\right)\end{array}\right]=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),$

για 2 ≤ k ∈ N, where ⊗ δηλώνει το γινόμενο Κρόνεκερ.

Μετάθεση

Μπορούμε να πάρουμε έναν πίνακα Γουάλς από έναν πίνακα Χανταμάρ. Για το σκοπό αυτό, δημιουργούμε πρώτα τον πίνακα Χανταμάρ για μια δεδομένη διάσταση. Στη συνέχεια, μετράμε τον αριθμό των αλλαγών προσήμου κάθε γραμμής. Τέλος, αναδιατάσσουμε τις γραμμές του πίνακα σύμφωνα με τον αριθμό των αλλαγών προσήμου σε αύξουσα σειρά.

Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα Χανταμάρ διάστασης $2^2$

$H(4)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$,

όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 3, 1 και 2 αλλαγές προσήμου (μετράμε τον αριθμό των φορών που αλλάζουμε από θετικό 1 σε αρνητικό 1 και αντίστροφα). Αν αναδιατάξουμε τις γραμμές σε σειρά διαδοχής, έχουμε:

$W(4)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right],$

όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 2 και 3 αλλαγές προσήμου.

Εναλλακτικές μορφές του πίνακα Γουάλς

Συχνότητα ταξινόμησης

Η διάταξη αλληλουχίας των γραμμών του πίνακα Γουάλς μπορεί να προκύψει από τη διάταξη του πίνακα Χανταμάρ, εφαρμόζοντας πρώτα την μετάθεση αντιστροφής bit και στη συνέχεια την μετάθεση κώδικα Γκρέι:

$W(8)=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}\right],$

όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 αλλαγές προσήμου.

Δυαδική ταξινόμηση

$W(8)=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\end{array}\right],$

όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 και 5 αλλαγές προσήμου.

Φυσική διάταξη

$H(8)=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\end{array}\right],$

όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 και 5 αλλαγές προσήμου (πίνακας Χανταμάρ).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Πραγματικός αριθμός
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
• Matrix Computations
• A Hilbert Space Problem Book
• Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book