Πίνακας από μονάδες

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας από μονάδες είναι ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μονάδες $1$. Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες από μονάδες διαφορετικών διαστάσεων,

$J_2=\underset{2\times 2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}},J_{2,3}=\underset{2\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}},J_3=\underset{3\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}},J_4=\underset{4\times 4}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]}}.$

Για την ειδική περίπτωση που ο πίνακας έχει την μορφή διανύσματος γραμμής ή στήλης, λέγεται διάνυσμα από μονάδες. Για παράδειγμα,

$J_{1,3}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right],J_{3,1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],J_{1,4}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right],J_{4,1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$

Ιδιότητες

Για τον τετραγωνικό πίνακα από μονάδες $J_n$ ισχύει ότι:

• Είναι συμμετρικός.
• Το ίχνος του $J_n$ ικανοποιεί $\mathrm{tr}(J_n)=n$.
• Η ορίζουσα του $J_n$ ικανοποιεί

$\det (J_n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{αν }n=1\\ 0& \text{διαφορετικά}.\end{array}$

• Η τάξη του $J_n$ είναι $\mathrm{rank}(J_n)=1$.
• Ο $J_n$ έχει ιδιοδιάνυσμα $J_{n,1}$ με ιδιοτιμή $1$. Από το θεώρημα rank-nullity προκύπτει ότι η ιδιοτιμή $0$ έχει πολλαπλότητα $n-1$.
• Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι $p_{J_n}(x)=x^{n-1}\cdot (x-1)$.
• Ο πίνακας $\frac{1}{n}{J}_n$ είναι ταυτοδύναμος, καθώς για κάθε διάνυσμα $𝐱$ ισχύει ότι ${𝐱}^T{J}_n𝐱={\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)}^2\ge 0$.
• Για κάθε φυσικό αριθμό $k\ge 1$, οι δυνάμεις του πίνακα δίνονται από $J_n^k=n^{k-1}{J}_n$.
• Από την σχέση $J_n^2=n{J}_n$ προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι $p_{J_n}(x)=x^2-nx$.

Δείτε επίσης

• Μηδενικός πίνακας
• Ταυτοτικός πίνακας