Πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ

Διάγραμμα που δείχνει τον αριθμό των δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από ένα δεδομένο n. Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ προβλέπει ότι υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά.

Στη θεωρία αριθμών, η πρώτη εικασία Χάρντι-ΛίτλγουντΠρότυπο:Sfn δηλώνει τον ασυμπτωτικό τύπο για τον αριθμό των πρώτων k-tuples που είναι μικρότερες από ένα δεδομένο μέγεθος, γενικεύοντας το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Γ. Χ. Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ το 1923

Δήλωση

Έστω $m_1,m_2,\dots ,m_k$ θετικοί αρτιοί ακέραιοι αριθμοί έτσι ώστε οι αριθμοί της ακολουθίας $P=(p,p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k)$ δεν σχηματίζουν πλήρη κλάση υπολοίπων ως προς οποιονδήποτε πρώτο αριθμό και έστω ${\pi }_P(n)$ συμβολίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών $p$ μικρότερων από $n$ st. $p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k$ είναι όλα πρώτοι. Τότε Πρότυπο:SfnΠρότυπο:Sfn

${\pi }_P(n)\sim C_P\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{k+1}t},$

όπου

$C_P=2^k\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ prime,}}{q\ge 3}}\frac{1-\frac{w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)}{q}}{{(1-\frac{1}{q})}^{k+1}}$

είναι ένα γινόμενο επί περιττών πρώτων αριθμών και $w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)$ δηλώνει τον αριθμό των διακριτών υπολοίπων των $0,m_1,m_2,\dots ,m_k$ modulo $q$.

Η περίπτωση $k=1$ και $m_1=2$ σχετίζεται με την εικασία των δίδυμων πρώτων. Συγκεκριμένα αν ${\pi }_2(n)$ δηλώνει τον αριθμό των δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από n τότε

${\pi }_2(n)\sim C_2\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{2}t},$

όπου

$C_2=2\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ prime,}}{q\ge 3}}(1-\frac{1}{(q-1{)}^2})\approx 1.320323632\dots$

είναι η σταθερά των δίδυμων πρώτων.Πρότυπο:Sfn

Αριθμός Σκιουζ

Οι αριθμοί Σκιουζ για πρώτους k-tuples είναι μια επέκταση του ορισμού του αριθμού Σκιουζ σε πρώτους k-tuples που βασίζεται στην πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ. Ο αρχικός πρώτος αριθμός p που παραβιάζει την ανισότητα Χάρντι-Λίτλγουντ για το k-tuple P, δηλαδή, τέτοιος ώστε

${\pi }_P(p)>C_P{\mathrm{li}}_P(p),$

(αν υπάρχει τέτοιος πρώτος) είναι ο αριθμός Σκιουζ (Skewes) για το P.Πρότυπο:Sfn

Συνέπειες

Η εικασία έχει αποδειχθεί ότι δεν συμβιβάζεται με τη δεύτερη εικασία Χάρντι - Λίτλγουντ.

Γενικεύσεις

Η εικασία των Μπέιτμαν-Χορν είναι μια σημαντική γενίκευση στη θεωρία αριθμών, που επεκτείνει την πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ σε πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 1.Πρότυπο:Sfn

Πρόσφατη πρόοδος

Το 2013, ο Γιτάνγκ Ζανγκ απέδειξε την ύπαρξη απείρως πολλών ζευγών πρώτων αριθμών που χωρίζονται με διαφορά μικρότερη από 70 εκατομμύρια. Αν και αυτό δεν αποδεικνύει την εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ στο σύνολό της, η ανακάλυψη αποτελεί σημαντική πρόοδο στην κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών.

Η ανακάλυψη του Ζανγκ άνοιξε το δρόμο για μια σειρά περαιτέρω ερευνών, που οδήγησαν στη σταδιακή μείωση αυτής της διαφοράς σε πολύ χαμηλότερα επίπεδα χάρη στη συλλογική εργασία πολλών μαθηματικών στο πρόγραμμα Polymath. Στο τέλος, η διαφορά μειώθηκε στο 246, μια θεαματική ανακάλυψη στον τομέα αυτό.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation.

Πρότυπο:Citation.

• Πρότυπο:Citation. Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum $\exp (i\gamma )$ taken over the imaginary parts of the zeros.
• Πρότυπο:Cite book

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation