Στροφοειδές

Κατασκευή στροφοειδούς. Πρότυπο:Legend-line Πρότυπο:Legend-line Πρότυπο:Legend-line Πρότυπο:Legend-line Πρότυπο:Legend-line

Στη γεωμετρία, ένα στροφοειδές είναι μια καμπύλη που δημιουργείται από μια δεδομένη καμπύλη Πρότυπο:Mvar και τα σημεία Πρότυπο:Mvar (το σταθερό σημείο) και Πρότυπο:Mvar (ο πόλος) ως εξής: Έστω Πρότυπο:Mvar μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Πρότυπο:Mvar και τέμνει τη Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar. Έστω τώρα P₁ και P₂ τα δύο σημεία της Πρότυπο:Mvar των οποίων η απόσταση από το Πρότυπο:Mvar είναι ίδια με την απόσταση από το Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar (δηλαδή Πρότυπο:Mvar ₁ = Πρότυπο:Mvar ₂ = Πρότυπο:Mvar). Ο τόπος αυτών των σημείων P₁ και P₂ είναι τότε το στροφοειδές του Πρότυπο:Mvar ως προς τον πόλο O και το σταθερό σημείο Πρότυπο:Mvar. Σημειώστε ότι τα Πρότυπο:Mvar ₁ και Πρότυπο:Mvar ₂ είναι σε ορθή γωνία σε αυτή την κατασκευή.

Στην ειδική περίπτωση όπου η Πρότυπο:Mvar είναι ευθεία, το Πρότυπο:Mvar βρίσκεται πάνω στη Πρότυπο:Mvar και το Πρότυπο:Mvar δεν βρίσκεται πάνω στη Πρότυπο:Mvar, τότε η καμπύλη ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές. Εάν, επιπλέον, η Πρότυπο:Mvar είναι κάθετη στη Πρότυπο:Mvar , τότε η καμπύλη ονομάζεται ορθή στροφοειδής ή απλώς στροφοειδής από ορισμένους συγγραφείς. Το δεξιό στροφοειδές ονομάζεται επίσης λογοκυκλική καμπύλη ή φυλλόμορφη καμπύλη.

Εξισώσεις

Πολικές συντεταγμένες

Έστω ότι η καμπύλη Πρότυπο:Mvar δίνεται από τη σχέση $r=f(\theta ),$ όπου η αρχή λαμβάνεται ως Πρότυπο:Mvar. Έστω Πρότυπο:Mvar το σημείο Πρότυπο:Math. Αν $K=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ είναι ένα σημείο της καμπύλης η απόσταση από το Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar είναι

$d=\sqrt{(r\cos \theta -a{)}^2+(r\sin \theta -b{)}^2}=\sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}.$

Τα σημεία στην ευθεία Πρότυπο:Mvar έχουν πολική γωνία Πρότυπο:Mvar, και τα σημεία σε απόσταση Πρότυπο:Mvar από Πρότυπο:Mvar στην ευθεία αυτή έχουν απόσταση $f(\theta )\pm d$ από την αρχή. Επομένως, η εξίσωση του στροφοειδούς δίνεται από τη σχέση

$r=f(\theta )\pm \sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}$

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Έστω Πρότυπο:Mvar που δίνεται παραμετρικά από Πρότυπο:Math. Έστω Πρότυπο:Mvar το σημείο Πρότυπο:Math και έστω Πρότυπο:Mvar το σημείο Πρότυπο:Math. Τότε, με μια απλή εφαρμογή του πολικού τύπου, το στροφοειδές δίνεται παραμετρικά από:

$u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),$

όπου

$n(t)=\sqrt{\frac{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2}{(x(t)-p{)}^2+(y(t)-q{)}^2}}.$

Ένας εναλλακτικός πολικός τύπος

Η μιγαδική φύση των παραπάνω τύπων περιορίζει τη χρησιμότητά τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Υπάρχει ένας εναλλακτικός τύπος που είναι μερικές φορές απλούστερος στην εφαρμογή. Αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν η Πρότυπο:Mvar είναι μια τομή Μακλάουριν με πόλους Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar.

Έστω Πρότυπο:Mvar η αρχή και Πρότυπο:Mvar το σημείο Πρότυπο:Math. Έστω Πρότυπο:Mvar ένα σημείο της καμπύλης, Πρότυπο:Mvar η γωνία μεταξύ OK και του άξονα Πρότυπο:Mvar και η γωνία μεταξύ AK και του άξονα Πρότυπο:Mvar}. Ας υποθέσουμε ότι Πρότυπο:Mvar μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση Πρότυπο:Mvar, ας πούμε $\vartheta =l(\theta ).$ Έστω Πρότυπο:Mvar η γωνία στο Πρότυπο:Mvar, οπότε $\psi =\vartheta -\theta .$ Μπορούμε να προσδιορίσουμε το Πρότυπο:Mvar ως προς το Πρότυπο:Mvar χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων. Δεδομένου ότι

$\frac{r}{\sin \vartheta }=\frac{a}{\sin \psi },r=a\frac{\sin \vartheta }{\sin \psi }=a\frac{\sin l(\theta )}{\sin (l(\theta )-\theta )}.$

Έστω P₁ και P₂ τα σημεία του Πρότυπο:Mvar που απέχουν απόσταση Πρότυπο:Mvar από το Πρότυπο:Mvar, με αρίθμηση έτσι ώστε $\psi =\mathrm{\angle }{P}_{1}KA$ και $\pi -\psi =\mathrm{\angle }AK{P}_2.$ Πρότυπο:Math είναι ισοσκελής με γωνία κορυφής Πρότυπο:Mvar, οπότε οι υπόλοιπες γωνίες, $\mathrm{\angle }A{P}_{1}K$ και $\mathrm{\angle }KA{P}_1$ είναι $\frac{\pi -\psi }{2}.$ Η γωνία μεταξύ Πρότυπο:Mvar₁ και του Πρότυπο:Mvar-άξονα είναι τότε

$l_1(\theta )=\vartheta +\mathrm{\angle }KA{P}_1=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.$

Με ένα παρόμοιο επιχείρημα, ή απλά χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι Πρότυπο:Mvar₁ και Πρότυπο:Mvar₂ βρίσκονται σε ορθή γωνία, η γωνία μεταξύ Πρότυπο:Mvar₂ και του άξονα Πρότυπο:Mvar είναι τότε

$l_2(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.$

Η πολική εξίσωση για το στροφοειδές μπορεί τώρα να προκύψει από l₁ και l₂ από τον παραπάνω τύπο:

$\begin{array}{cc}& r_1=a\frac{\sin l_1(\theta )}{\sin (l_1(\theta )-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin ((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}=a\frac{\cos ((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos ((l(\theta )-\theta )/2)}\\ & r_2=a\frac{\sin l_2(\theta )}{\sin (l_2(\theta )-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin ((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin ((l(\theta )-\theta )/2)}\end{array}$

Πρότυπο:Mvar είναι μια σέκτα Μακλάουριν με πόλους Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar όταν Πρότυπο:Mvar είναι της μορφής $q\theta +{\theta }_0,$ στην περίπτωση αυτή οι l₁ και l₂ θα έχουν την ίδια μορφή οπότε το στροφοειδές είναι είτε μια άλλη τομή του Μακλάουριν είτε ένα ζεύγος τέτοιων καμπυλών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει επίσης μια απλή πολική εξίσωση για την πολική εξίσωση αν η αρχή μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά Πρότυπο:Mvar.

Ειδικές περιπτώσεις

Πλάγια στροφοειδή

Έστω Πρότυπο:Mvar μια ευθεία που διέρχεται από την Πρότυπο:Mvar. Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, $l(\theta )=\alpha$ όπου Πρότυπο:Mvar είναι μια σταθερά. Τότε $l_1(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ και $l_2(\theta )=(\theta +\alpha )/2.$ Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, που ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές, με αρχή στο Πρότυπο:Mvar είναι τότε

$r=a\frac{\cos ((\alpha +\theta )/2)}{\cos ((\alpha -\theta )/2)}$

και

$r=a\frac{\sin ((\alpha +\theta )/2)}{\sin ((\alpha -\theta )/2)}.$

Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις περιγράφουν την ίδια καμπύλη.

Μετακίνηση της αρχής στην Πρότυπο:Mvar (και πάλι, βλέπε Τομή Μακλάουριν) και αντικαθιστώντας Πρότυπο:Mvar με Πρότυπο:Mvar προκύπτει

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )},$

και η περιστροφή κατά $\alpha$ με τη σειρά της παράγει

$r=a\frac{\sin (2\theta +\alpha )}{\sin (\theta )}.$

Σε ορθογώνιες συντεταγμένες, με αλλαγή σταθερών παραμέτρων, αυτό είναι

$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy.$

Πρόκειται για κυβική καμπύλη και, από την έκφραση σε πολικές συντεταγμένες, είναι ρητή. Έχει κόμβο στο Πρότυπο:Math και την ευθεία Πρότυπο:Math είναι ασυμπτωτική.

Δεξί στροφοειδές

Δεξί στροφοειδές

Θέτοντας $\alpha =\pi /2$ στο

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}$

δίνει

$r=a\frac{\cos 2\theta }{\cos \theta }=a(2\cos \theta -\sec \theta ).$

Αυτό ονομάζεται δεξί στροφοειδές και αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου Πρότυπο:Mvar είναι ο Πρότυπο:Mvar-άξονας, Πρότυπο:Mvar είναι η αρχή και Πρότυπο:Mvar είναι το σημείο Πρότυπο:Math.

Η καρτεσιανή εξίσωση είναι η εξής

$y^2=x^2(a-x)/(a+x).$

Η καμπύλη μοιάζει με το Folium του Ντεκάρτ και η ευθεία x = -a είναι μια ασύμπτωτη σε δύο κλάδους. Η καμπύλη έχει δύο ακόμη ασύμπτωτες, στο επίπεδο με μιγαδικές συντεταγμένες, που δίνονται από

$x\pm iy=-a.$

Κύκλοι

Έστω Πρότυπο:Mvar ένας κύκλος που διέρχεται από Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar, όπου Πρότυπο:Mvar είναι η αρχή και Πρότυπο:Mvar είναι το σημείο Πρότυπο:Math. Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, $l(\theta )=\alpha +\theta$ όπου $\alpha$ είναι μια σταθερά. Τότε $l_1(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ και $l_2(\theta )=\theta +\alpha /2.$ Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, το οποίο ονομάζεται λοξό στροφοειδές, με αρχή στο Πρότυπο:Mvar είναι τότε

$r=a\frac{\cos (\theta +\alpha /2)}{\cos (\alpha /2)}$

και

$r=a\frac{\sin (\theta +\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}.$

Αυτές είναι οι εξισώσεις των δύο κύκλων που επίσης διέρχονται από Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar και σχηματίζουν γωνίες $\pi /4$ με Πρότυπο:Mvar στα σημεία αυτά.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Γένος (μαθηματικά)
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Math 252: Modular Abelian Varieties
• Handbook of Conformal Mapping with Computer-Aided Visualization
• A Catalog of Special Plane Curves
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
• A Book of Curves

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:Springer
• Πρότυπο:MacTutor
• Hilbert Modular Forms
• David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic 1917-1933
• Geometry and the Imagination