Τετραεδρικός αριθμός

Μια πυραμίδα με μήκος πλευράς 5 περιέχει 35 σφαίρες. Κάθε επίπεδο αντιπροσωπεύει έναν από τους πέντε πρώτους τριγωνικούς αριθμούς.

Ένας τετραεδρικός αριθμός ή τριγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια πυραμίδα με τριγωνική βάση και τρεις πλευρές, δηλαδή ένα τετράεδρο. Ο Πρότυπο:Mvar-οστός τετραεδρικός αριθμός, Πρότυπο:Mvar, είναι το άθροισμα των πρώτων Πρότυπο:Mvar τριγωνικών αριθμών, δηλαδή:

$T{e}_n=\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\sum _{k=1}^n\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί είναι:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... Πρότυπο:Oeis

Τύπος

Ο τύπος για τον Πρότυπο:Mvar-οστό τετραεδρικό αριθμό μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

$T{e}_n=\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\sum _{k=1}^n\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως διωνυμικοί συντελεστές:

$T{e}_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}).$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επομένως να βρεθούν στην τέταρτη θέση είτε από αριστερά είτε από δεξιά στο τρίγωνο του Πασκάλ.

Απόδειξη

Αυτή η απόδειξη χρησιμοποιεί το γεγονός ότι ο Πρότυπο:Mvar-οστός τριγωνικός αριθμός δίνεται από τον τύπο:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Αποδεικνύεται με επαγωγή.

Βασικό βήμα:

$T{e}_1=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.$

Επαγωγικό βήμα:

$\begin{array}{cc}T{e}_{n+1}& =T{e}_n+T_{n+1}\\ & =\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\ & =(n+1)(n+2)(\frac{n}{6}+\frac{1}{2})\\ & =\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.\end{array}$

Αναδρομική σχέση

Οι τετραεδρικοί και οι τριγωνικοί αριθμοί συσχετίζονται μέσω των αναδρομικών τύπων:

$\begin{array}{ccc}& T{e}_n=T{e}_{n-1}+T_n& (1)\\ & T_n=T_{n-1}+n& (2)\end{array}$

Η εξίσωση $(1)$ γίνεται

$\begin{array}{cc}& T{e}_n=T{e}_{n-1}+T_{n-1}+n\end{array}$

Αντικαθιστώντας το $n-1$ στη θέση του $n$ στην εξίσωση $(1)$ έχουμε:

$\begin{array}{cc}& T{e}_{n-1}=T{e}_{n-2}+T_{n-1}\end{array}$

Έτσι, o $n$-οστός τετραεδρικός αριθμός ικανοποιεί την ακόλουθη αναδρομική εξίσωση:

$\begin{array}{cc}& T{e}_n=2T{e}_{n-1}-T{e}_{n-2}+n\end{array}$

Γενίκευση

Το μοτίβο που βρέθηκε για τους τριγωνικούς αριθμούς, $\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2+1}{2})$, και για τους τετραεδρικούς αριθμούς, $\sum _{n_2=1}^{n_3}\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_3+2}{3})$, μπορεί να γενικευτεί. Αυτό οδηγεί στον ακόλουθο τύπο:$$\sum _{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_2=1}^{n_3}\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_k+k-1}{k})$$

Γεωμετρική ερμηνεία

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν να μοντελοποιηθούν με την στοίβαξη σφαιρών. Για παράδειγμα, ο πέμπτος τετραεδρικός αριθμός (Πρότυπο:Math) μπορεί να φτιαχτεί με 35 μπάλες και ένα κανονικό τρίγωνο μπιλιάρδου στο οποίο χωράνε 15 μπάλες. Στη συνέχεια, 10 ακόμη μπάλες στοιβάζονται πάνω από αυτές, μετά άλλες 6, μετά άλλες τρεις και τέλος μία μπάλα στην κορυφή για να γίνει το τετράεδρο.

Τετραεδρικές ρίζες και τέστ για τετραεδρικούς αριθμούς

Κατ' αναλογία με την κυβική ρίζα του Πρότυπο:Mvar, μπορούμε να ορίσουμε την (πραγματική) τετραεδρική ρίζα του Πρότυπο:Mvar ως τον αριθμό Πρότυπο:Math, έτσι ώστε Πρότυπο:Math:$$n=\sqrt[3]{3x+\sqrt{9x^2-\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{3x-\sqrt{9x^2-\frac{1}{27}}}-1$$

που προκύπτει από τον τύπο του Καρντάνο. Ισοδύναμα, αν η πραγματική τετραεδρική ρίζα Πρότυπο:Mvar του Πρότυπο:Mvar είναι ακέραιος, τότε το Πρότυπο:Mvar είναι ο Πρότυπο:Mvar-οστός τετραεδρικός αριθμός.

Ιδιότητες

• Πρότυπο:Math, οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί.

  Πρότυπο:Math, το άθροισμα των περιττών τετραγώνων.

  Πρότυπο:Math, το άθροισμα των άρτιων τετραγώνων.

• Ο A. J. Meyl απέδειξε το 1878 ότι μόνο τρεις τετραεδρικοί αριθμοί είναι επίσης τέλεια τετράγωνα, συγκεκριμένα:

  Πρότυπο:Math

  Πρότυπο:Math

  Πρότυπο:Math.

• Η εικασία του Sir Frederick Pollock λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι το άθροισμα το πολύ 5 τετραεδρικών αριθμών.
• Ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης και τετραγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι το 1 (Beukers, 1988) και ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης τέλειος κύβος είναι το 1.
• Το άπειρο άθροισμα των αντίστροφων τετραεδρικών αριθμών ισούται με Πρότυπο:Sfrac, το οποίο μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας μια τηλεσκοπική σειρά:

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}.$

• Οι τετραεδρικοί αριθμοί ακολουθούν το ακόλουθο επαναλαμβανόμενο μοτίβο: περιττός-άρτιος-άρτιος-άρτιος.
• Παρατηρούμε στους τετραεδρικούς αριθμούς ότι:

  Πρότυπο:Math

• Οι αριθμοί που είναι και τριγωνικοί και τετραεδρικοί πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του διωνυμικού συντελεστή:

  $T_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+2}{3})=T{e}_m.$

Οι μόνοι αριθμοί που είναι ταυτόχρονα και τετραεδρικοί και τριγωνικοί είναι Πρότυπο:Oeis:

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

• Πρότυπο:Math είναι το άθροισμα όλων των γινομένων p × q, όπου (p, q) είναι διατεταγμένα ζεύγη και p + q = n + 1.

• Ο μεγαλύτερος τετραεδρικός αριθμός της μορφής $2^a+3^b+1$, με a και b να είναι ακέραιοι, είναι το 8436.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Mathworld
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.