Τύπος του Γιακόμπι

Στον υπολογισμό πινάκων, ο τύπος του Γιακόμπι εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα Α ως προς την συζυγή του Α και την παράγωγο του Α.

Εάν ο Πρότυπο:Mvar είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες Πρότυπο:Math, τότε

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A(t))\frac{dA(t)}{dt})=(\det A(t))\cdot \mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\cdot \frac{dA(t)}{dt})$

όπου Πρότυπο:Math είναι το ίχνος του πίνακα Πρότυπο:Mvar. (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο A'(t) είναι αντιστρέψιμος).

Ως ειδική περίπτωση,

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\mathrm{adj}(A{)}_{ji}.$

Ισοδύναμα, αν Πρότυπο:Mvar συμβολίζει το διαφορικό του Πρότυπο:Mvar, ο γενικός τύπος είναι

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA).$

Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.

Παραγωγίση

Μέσω υπολογισμού πινάκων

Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα:

Λήμμα. Έστω Α και Β ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης n. Τότε

$\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}B).$

Απόδειξη. Το γινόμενο ΑΒ του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες

$(AB{)}_{jk}=\sum _i{A}_{ji}{B}_{ik}.$

Η αντικατάσταση του πίνακα A από την αντιμετάθεσή του A^T είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:

$(A^{\mathrm{T}}B{)}_{jk}=\sum _i{A}_{ij}{B}_{ik}.$

Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:

$\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}B)=\sum _j(A^{\mathrm{T}}B{)}_{jj}=\sum _j\sum _i{A}_{ij}{B}_{ij}=\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}.◻$

Θεώρημα. (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη A από τους πραγματικούς αριθμούς σε n × n πίνακες,

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA).$

Απόδειξη. Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα Α μπορεί να διατυπωθεί ως εξής

$\det (A)=\sum _j{A}_{ij}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}.$

Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή i του πίνακα.

Η ορίζουσα του A μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του A:

$\det (A)=F(A_{11},A_{12},\dots ,A_{21},A_{22},\dots ,A_{nn})$

έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι

$d\det (A)=\sum _i\sum _j\frac{\partial F}{\partial A_{ij}}d{A}_{ij}.$

Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα n×n στοιχεία του πίνακα.

Για να βρούμε το ∂F/∂A_ij ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης i μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂ / ∂A_ij:

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\frac{\partial \sum _k{A}_{ik}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial (A_{ik}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik})}{\partial A_{ij}}$

Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}+\sum _k{A}_{ik}\frac{\partial {\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}.$

Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα A_ij και ένας συντελεστής adj^T(A)_ik του στοιχείου A_ik βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του A_ij, επειδή ο συντελεστής του A_ikεκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς,

$\frac{\partial {\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=0,$

οπότε

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}.$

Όλα τα στοιχεία του Α είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.

$\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}={\delta }_{jk},$

όπου δ είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}{\delta }_{jk}={\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}.$

Ως εκ τούτου,

$d(\det (A))=\sum _i\sum _j{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}d{A}_{ij},$

και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει

$d(\det (A))=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA).◻$

Διαγώνια διαγωνοποίηση

Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι είναι πολυώνυμα του πίνακα συντελεστές των Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar. Επομένως, είναι αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο όπου οι ιδιοτιμές του Πρότυπο:Mvar είναι διακριτές και μη μηδενικές.

Εάν η Πρότυπο:Mvar είναι διαφοροποιήσιμη ως $A=BC$, τότε

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}((BC{)}^{-1}(BC{)}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(B^{-1}{B}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(C^{-1}{C}^{\prime }).$

Ειδικότερα, αν Πρότυπο:Mvar είναι αντιστρέψιμη, τότε $I=L^{-1}L$ και

$0=\mathrm{t}\mathrm{r}(I^{-1}{I}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(L(L^{-1}{)}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(L^{-1}{L}^{\prime }).$

Δεδομένου ότι η Πρότυπο:Mvar έχει διακριτές ιδιοτιμές, υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε $A=L^{-1}DL$ και Πρότυπο:Mvar είναι διαγώνιος. Τότε

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(L(L^{-1}{)}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(L^{-1}{L}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime }).$

Έστω ${\lambda }_i$, $i=1,\dots ,n$ είναι οι ιδιοτιμές της Πρότυπο:Mvar. Τότε

$\frac{\det (A{)}^{\prime }}{\det (A)}=\sum _{i=1}^n{{\lambda }_i}^{\prime }/{\lambda }_i=\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime }),$

ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες Πρότυπο:Mvar με ξεχωριστές μη μηδενικές ιδιοτιμές.

Συμπεράσματα

Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα:

$\det e^B=e^{\mathrm{tr}\left(B\right)}$

Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.

Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα $A(t)$, στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\det A(t)\mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\frac{d}{dt}A(t))$

Θεωρώντας $A(t)=\exp (tB)$ σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:

$\frac{d}{dt}\det e^{tB}=\mathrm{tr}(B)\det e^{tB}$

Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.

Εφαρμογές

Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\det A(t)\mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\frac{d}{dt}A(t))$

και χρησιμοποιώντας $A(t)=tI-B$, έχουμε:

$\frac{d}{dt}\det (tI-B)=\det (tI-B)\mathrm{tr}[(tI-B{)}^{-1}]=\mathrm{tr}[\mathrm{adj}(tI-B)]$

όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο πίνακα.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Ορίζουσα
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• A Treatise on the Theory of Bessel Functions
• The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Application
• Jacobi's Lectures on Dynamics: Delivered at the University of Konigsberg in ...

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:EB1911
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book