Ίχνος πίνακα

Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times n$ το ίχνος του $\mathrm{tr}(A)$ ορίζεται ωςΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\mathrm{tr}(A)=A_{11}+A_{22}+\dots +A_{nn}=\sum _{i=1}^n{A}_{ii}$.

Για παράδειγμα,

$\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 3\end{array}\right]\right)=4+3=7$ και $\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}7& -1& 10\\ 3& -2& 9\\ 1& 11& 4\end{array}\right]\right)=7+(-2)+4=9$.

Ο συμβολισμός $\mathrm{tr}$ προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος.Πρότυπο:R Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν.$(A)$.

Παραδείγματα

• Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων $n\times n$ για $n=1,2,3$, ισχύει ότι:

$\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{c}{A}_{11}\end{array}\right]\right)=A_{11},\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\right)=A_{11}+A_{22},\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]\right)=A_{11}+A_{22}+A_{33}$.

• Για τον ταυτοτικό πίνακα $I_n$, ισχύει ότι $\mathrm{tr}(I_n)=n$. Για παράδειγμα, για $n=1,2,3$:

$\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]\right)=1,\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right)=1+1=2,\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)=1+1+1=3$.

• Για τον μηδενικό πίνακα ${\mathrm{𝟎}}_{n\times n}$, ισχύει ότι $\mathrm{tr}({\mathrm{𝟎}}_{n\times n})=0$.
• Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα $A$, $\mathrm{tr}(A)=0$, καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι $0$.Πρότυπο:R Για παράδειγμα:

$\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]\right)=0,\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 0\end{array}\right]\right)=0+0=0,\mathrm{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 6\\ -2& 0& 8\\ 6& 8& 0\end{array}\right]\right)=0+0+0=0$.

Ιδιότητες

• Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες $A$ και $B$ ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο $c$ έχουμε ότι $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$ και $\mathrm{tr}(cA)=c\cdot \mathrm{tr}(A)$.Πρότυπο:R

• Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.Πρότυπο:R

• Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα, $\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A)$.

• Για δύο όμοιους πίνακες $A$ και $B$, $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$.

• Αν ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα $A$, τότε $\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$.Πρότυπο:RΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Παραπομπές

Πρότυπο:Γραμμική άλγεβρα Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control