Εμβαδόν

Εμβαδόν ή έκταση είναι το μέγεθος μέτρησης των επιφανειών.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα $\mathrm{E}$ ή το γράμμα $\mathrm{A}$ (το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως στην επιφάνεια διατομής). Η μονάδα μέτρησης στο διεθνές σύστημα είναι το 1m². Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων, όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν όγκο. Όταν αναφέρεται σε τρισδιάστατα σχήματα συνήθως εννοείται το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος.

Λίστα τύπων υπολογισμού εμβαδού διαφόρων σχημάτων

Παρακάτω δίνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των πιο κοινών γεωμετρικών σχημάτων.

Τρίγωνο

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ ισχύουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του

• Αν ${\upsilon }_{\mathrm{A}},{\upsilon }_{\mathrm{B}},{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου, τότεΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot {\upsilon }_{\mathrm{A}}=\frac{1}{2}\cdot \beta \cdot {\upsilon }_{\mathrm{B}}=\frac{1}{2}\cdot \gamma \cdot {\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}$.

• (Τύπος του Ήρωνα) Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$, έχουμε ότιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, ισχύει ότι

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\beta \gamma \sin \mathrm{A}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\alpha }\mathrm{\gamma }\sin \mathrm{B}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }\sin \mathrm{\Gamma }$,

όπου $\sin \mathrm{A},\sin \mathrm{B},\sin \mathrm{\Gamma }$ τα ημίτονα των τριών γωνιών του.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότεΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\tau \cdot \rho$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και ${\rho }_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότεΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=(\tau -\alpha )\cdot {\rho }_{\mathrm{A}}=(\tau -\beta )\cdot {\rho }_{\mathrm{B}}=(\tau -\gamma )\cdot {\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος, $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένος κύκλος και ${\rho }_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότεΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\sqrt{\rho \cdot {\rho }_{\mathrm{A}}\cdot {\rho }_{\mathrm{B}}\cdot {\rho }_{\mathrm{\Gamma }}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότεΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{\alpha \beta \gamma }{4R}$.

• Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι $\mathrm{A}=(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})$, $\mathrm{B}=(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})$ και $\mathrm{\Gamma }=(x_{\mathrm{\Gamma }},y_{\mathrm{\Gamma }})$, τότε

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_{\mathrm{A}}& y_{\mathrm{A}}& 1\\ x_{\mathrm{B}}& y_{\mathrm{B}}& 1\\ x_{\mathrm{\Gamma }}& y_{\mathrm{\Gamma }}& 1\end{array}\right|.$

Ειδικά τρίγωνα

• (Ισόπλευρο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου με μήκος πλευράς $x$ είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{4}\sqrt{3}{x}^2$.

• (Ορθογώνιο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με $\hat{\mathrm{A}}=90^{\circ }$ είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma$.

Τετράπλευρο

• (Τύπος Bretschneider) Το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και ημιπερίμετρο $\mathrm{\tau }$ είναιΠρότυπο:Rp

$\mathrm{E}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot {\cos }^2\left(\frac{\hat{\mathrm{A}}\mathrm{+}\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}\right)}$.

• Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι $\mathrm{A}=(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})$, $\mathrm{B}=(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})$, $\mathrm{\Gamma }=(x_{\mathrm{\Gamma }},y_{\mathrm{\Gamma }})$ και $\mathrm{\Delta }=(x_{\mathrm{\Delta }},y_{\mathrm{\Delta }})$, τότε

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_{\mathrm{A}}& y_{\mathrm{A}}& 1\\ x_{\mathrm{B}}& y_{\mathrm{B}}& 1\\ x_{\mathrm{\Gamma }}& y_{\mathrm{\Gamma }}& 1\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_{\mathrm{B}}& y_{\mathrm{B}}& 1\\ x_{\mathrm{\Gamma }}& y_{\mathrm{\Gamma }}& 1\\ x_{\mathrm{\Delta }}& y_{\mathrm{\Delta }}& 1\end{array}\right|.$

Ειδικά τετράπλευρα

• (Τετράγωνο) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς $x$ είναι

$\mathrm{E}=x^2$.

• (Ρόμβος) Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot {\delta }_1\cdot {\delta }_2$

όπου ${\delta }_1$ και ${\delta }_2$ είναι τα μήκη των διαγωνίων του.

• (Παραλληλόγραμμο) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\beta \cdot \upsilon$

όπου $\beta$ είναι το μήκος της μίας πλευράς (αποκαλούμενης βάσης) και $\upsilon$ το μήκος της απόστασης μεταξή των δύο παράλληλων βάσεων (αποκαλούμενου ύψους).

• (Τραπέζιο) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot (B+\beta )\cdot \upsilon$,

όπου $B$ και $\beta$ είναι τα μήκη των δύο παράλληλων πλευρών του (αποκαλούμενες ως βάση και μικρή βάση αντίστοιχα) και $\upsilon$ το ύψος του, δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες.

• Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και ημιπερίμετρο $\tau$ είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{\alpha +\beta }{\alpha -\beta }\cdot \sqrt{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\beta -\gamma )(\tau -\beta -\delta )}$.

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου δίνεται από

$\mathrm{E}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}$

όπου $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ και $\delta$ είναι τα μήκη των πλευρών του και $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρός του.

Κανονικό πολύγωνο

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου με πλευρά μήκους $x$ είναι

$\mathrm{E}=\frac{1}{4}n{x}^2\cdot \cot (\pi /n)$.

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου με ημιπερίμετρο $\tau$ είναι

$\mathrm{E}=\frac{1}{n}\cdot \tau \cdot \cot (\pi /n)$

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου είναι

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}n{R}^2\cdot \sin (2\pi /n)=n{r}^2\tan (\pi /n)$

όπου $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, και $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\tau \cdot \rho$

όπου $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και $\tau$ η ημιπερίμετρος του.

Ειδικές περιπτώσεις

• (Κανονικό εξάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $x$ δίνεται από

$\mathrm{E}=\frac{3}{2}\sqrt{3}{x}^2$.

• (Κανονικό οκτάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς $x$ δίνεται από

$\mathrm{E}=2(1+\sqrt{2})x^2$

Κύκλος και κυκλικός τομέας

• Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο μεΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα του και $d=2r$ είναι η διάμετρος του.

• Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα είναιΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{\theta }{2}{r}^2=\frac{\mathrm{\Pi }\cdot r}{2}$

όπου $r$ είναι η ακτίνα του κύκλου, $\theta$ είναι η γωνία του (σε ακτίνια), και $\mathrm{\Pi }$ η περίμετρός του.

Επιφάνεια γεωματερικών στερεών

Κύλινδρος

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου δίνεται από

${\mathrm{E}}_{\text{π}}=2\pi r\cdot \upsilon$,

και το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του απόΠρότυπο:Rp

${\mathrm{E}}_{\text{ολ}}=2\pi r(r+\upsilon )$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα και $\upsilon$ το ύψος του.

Σφαίρα

Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας μίας σφαίρας δίνεται απόΠρότυπο:R

${\mathrm{E}}_{\text{σφ}}=4\pi r^2=\pi d^2$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα της και $d=2r$ η διάμετρός της.

Πυραμίδα

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας πυραμίδας δίνεται απόΠρότυπο:R

${\mathrm{E}}_{\text{π}}=\frac{1}{2}\mathrm{\Pi }\cdot \upsilon$

και το εμβαδόν της συνολικής της επιφάνειας από

${\mathrm{E}}_{\text{ολ}}={\mathrm{E}}_B$,

όπου ${\mathrm{E}}_B$ είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της βάσης, $\mathrm{\Pi }$ είναι η περίμετρος της βάσης και $\upsilon$ το παράπλευρο ύψος.

Κώνος

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναιΠρότυπο:R

${\mathrm{E}}_{\text{π}}=\pi r\ell =\pi r\sqrt{r^2+{\upsilon }^2}$

και της συνολικής του επιφάνειας είναι

${\mathrm{E}}_{\text{ολ}}=\pi r(r+\ell )=\pi r(r+\sqrt{r^2+{\upsilon }^2})$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα της βάσης, $\upsilon$ το ύψος του κώνου, και $\ell$ η ακμή του.

Δείτε επίσης

• Περίμετρος
• Όγκος

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal