Θεώρημα Βαρινιόν

Τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βαρινιόν δηλώνει ότι σε ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν, που το αναφέρει στις διαλέξεις του που δημοσιεύτηκαν το 1731.Πρότυπο:Rp

Αποδείξεις

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα Βαρινιόν. Παρακάτω παραθέτουμε δύο από αυτές.

Ιδιότητες

Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι πλευρές του είναι ανά δύο ίσες με το μισό μίας εκ των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
• Η περίμετρος του είναι ίση με το άθροισμα των διαγωνίων του.
• Το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

Στα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα, δηλαδή στα τετράπλευρα όπου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ορθογώνιο.

Σε ένα τετράπλευρο με ίσες διαγωνίους, το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ρόμβος.

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί σε πολύγωνα και στον τρισδιάστατο χώρο. Πιο συγκεκριμένα, η παραπάνω απόδειξη με χρήση διανυσμάτων ισχύει και για στρεβλά τετράπλευρα, δηλαδή τετράπλευρα των οποίων δεν ανήκουν όλες οι κορυφές στο ίδιο επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Μέσο (σημείο)
• Παραλληλόγραμμο
• Θεώρημα τομής του Θαλή