Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο

Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ όπου οι διαγώνιες είναι κάθετες, δηλαδή $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\perp \mathrm{B}\mathrm{\Delta }$.

Στην γεωμετρία, ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο είναι το τετράπλευρο όπου οι δύο διαγώνιές του είναι κάθετες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα, το τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ορθοδιαγώνιο ανν $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\perp \mathrm{B}\mathrm{\Delta }$.

Ιδιότητες

• Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν ενός ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου είναι ορθογώνιο.

• Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών και οι προβολές τους στις απέναντι πλευρές είναι ομοκύκλια σημεία. Το κέντρο του κύκλου είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου Βαρινιόν.

• Τα μέσα των πλευρών και τα ίχνη αυτών προς τις απέναντι πλευρές, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Το θεώρημα Βραχμαγκούπτα λέει ότι αν $\mathrm{I}\mathrm{H}\mathrm{\perp }\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, τότε $\mathrm{A}\mathrm{M}=\mathrm{M}\mathrm{\Delta }$.

• (Θεώρημα Βραχμαγκούπτα) Σε ένα ορθοδιαγώνιο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ που οι κορυφές του τέμνονται κάθετα στο σημείο $\mathrm{I}$, ισχύει ότι η κάθετος από το $\mathrm{I}$ προς μία πλευρά διχοτομεί την απέναντι της.

Μετρικές σχέσεις

• Σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο ισχύει ότι

${\alpha }^2+{\gamma }^2={\beta }^2+{\delta }^2$.

• Ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο ανΠρότυπο:Rp

${\mu }_1^2+{\mu }_3^2={\mu }_2^2+{\mu }_4^2$,

όπου ${\mu }_1$, ${\mu }_2$, ${\mu }_3$, ${\mu }_4$ οι διάμεσοι των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{P}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{P}$ στην κορυφή $\mathrm{P}$.

• Ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο ανΠρότυπο:R

$R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$,

όπου $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ οι ακτίνες των περιγεγραμμένου κύκλου των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{P}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{P}$.

• Ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο ανΠρότυπο:R

$\frac{1}{\underset{1}{\overset{2}{\upsilon }}}+\frac{1}{\underset{3}{\overset{2}{\upsilon }}}=\frac{1}{\underset{2}{\overset{2}{\upsilon }}}+\frac{1}{\underset{4}{\overset{2}{\upsilon }}}$,

όπου ${\upsilon }_1$, ${\upsilon }_2$, ${\upsilon }_3$, ${\upsilon }_4$ τα ύψη των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{P}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{P}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{P}$ στην κορυφή $\mathrm{P}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του, δηλαδή

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Delta }$.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το δελτοειδές είναι ορθογώνιο τετράπλευρο όπου η μία διαγώνιος είναι και άξονας συμμετρίας.
• Ο ρόμβος είναι ορθογώνιο τετράπλευρο όπου και οι δύο διαγώνιες είναι άξονες συμμετρίας (ή ισοδύναμα οι πλευρές είναι ανά δύο παράλληλες).

Δείτε επίσης

• Τετράπλευρο
• Θεώρημα Βραχμαγκούπτα