Τύπος του Ήρωνα

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Έστω α,β,γ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος τ=12⋅(α+β+γ), που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β και γ έχει εμβαδό [1][2][3][4][5]

E=τ(τ−α)(τ−β)(τ−γ),

όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

τ=α+β+γ2.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

E=14(α+β+γ)(α+β−γ)(β+γ−α)(γ+α−β).

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Απόδειξη

Τρίγωνο με πλευρές α,β,γ, κορυφές A,B,Γ και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή A.

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής:

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και A, B, Γ οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία Γ^ έχουμε ότι:

cos⁡Γ^=α2+β2−γ22αβ.

Από τη σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:

sin⁡Γ=1−cos2Γ^=4α2β2−(α2+β2−γ2)22αβ.

Χρησιμοποιώντας τη διαφορά τετραγώνων x2−y2=(x−y)⋅(x+y) έχουμε ότι:

sin⁡Γ^=12αβ(2αβ−(α2+β2−γ2))⋅(2αβ+(α2+β2−γ2)).

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (x+y)2=x2+2xy+y2, προκύπτει ότι:

sin⁡Γ^=12αβ(γ2−(α−β)2)⋅((α+β)2−γ2)).

Χρησιμοποιώντας πάλι τη διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι

sin⁡Γ^=12αβ(γ−α+β)⋅(γ+α−β)⋅(α+β−γ)⋅(α+β+γ)=2αβ⋅(τ−α)⋅(τ−β)⋅(τ−γ)⋅τ.

Το ύψος υA του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά α έχει μήκος

υA=β⋅sin⁡Γ^,

και έτσι έχουμε ότι

E=12(βα´ση)(υ´ψoς)=12⋅α⋅υA=12⋅αβ⋅υA=(τ−α)⋅(τ−β)⋅(τ−γ)⋅τ,

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις

Τύπος Βραχμαγκούπτα

Πρότυπο:Κύριο

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές α,β,γ,δ και ημιπερίμετρο τ, το εμβαδόν του είναι ίσο με

E=(τ−α)⋅(τ−β)⋅(τ−γ)⋅(τ−δ).

Τύπος Bretschneider

Πρότυπο:Κύριο

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές α,β,γ,δ και γωνίες A,B,Γ,Δ ως

E=(τ−α)⋅(τ−β)⋅(τ−γ)⋅(τ−δ)−12αβγδ⋅(1+cos⁡(A^+Γ^)).

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Παραπομπές

  1. ↑ Πρότυπο:Cite book
  2. ↑ Πρότυπο:Cite book
  3. ↑ Πρότυπο:Cite book
  4. ↑ Πρότυπο:Cite book
  5. ↑ Πρότυπο:Cite book

Πρότυπο:Τρίγωνο

Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Τύπος_του_Ήρωνα&oldid=203»