Συζυγής ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ο συζυγής ανάστροφος πίνακας $A^H$ είναι ο πίνακας διαστάσεων $m\times n$, ο οποίος ικανοποιεί

$(A^H{)}_{ij}={\bar{A}}_{ji}$,

για κάθε $1\le i\le m$ και $1\le j\le n$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Επομένως,

$A^H=(\bar{A}{)}^T=\left[\begin{array}{cccc}{\bar{A}}_{11}& {\bar{A}}_{12}& \dots & {\bar{A}}_{1n}\\ {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{22}& \dots & {\bar{A}}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\bar{A}}_{m1}& {\bar{A}}_{m2}& \dots & {\bar{A}}_{mn}\end{array}\right].$

Για παράδειγμα, ο συζυγής του $A=\left[\begin{array}{cc}(3+2i)& 5\\ (1-4i)& (7+2i)\end{array}\right]$ είναι ο $A^H=\left[\begin{array}{cc}(3-2i)& (1+4i)\\ 5& (7-2i)\end{array}\right]$.

Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως $A^{*}$ και $A^{†}$ Η ονομασία Ερμιτιανός προέρχεται από τον Σαρλ Ερμίτ.Πρότυπο:Rp

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους:

$A=\left[\begin{array}{ccc}(3+2i)& (7-3i)& 5i\\ (9-2i)& 10& (6-5i)\end{array}\right]A^H=\left[\begin{array}{cc}(3-2i)& (9+2i)\\ (7+3i)& 10\\ -5i& (6+5i)\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}(-5+2i)& (3-4i)\\ (4-8i)& (5+3i)\\ (1+3i)& (7-2i)\end{array}\right]B^H=\left[\begin{array}{ccc}(-5-2i)& (4+8i)& (1-3i)\\ (3+4i)& (5-3i)& (7+2i)\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{ccc}(-5+7i)& (8+2i)& (1-i)\end{array}\right]C^H=\left[\begin{array}{c}(-5-7i)\\ (8-2i)\\ (1+i)\end{array}\right]$

• Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα $A$, $A^H=A^T$.
• Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα $A$, $A^H=-A^T$. Για παράδειγμα,

$A=\left[\begin{array}{cc}3i& -6i\\ 7i& 4i\end{array}\right]A^H=\left[\begin{array}{cc}-3i& -7i\\ 6i& -4i\end{array}\right]$

Ιδιότητες

Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα, έχουμε τις εξής ιδιότητες:

• Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας, $(A^H{)}^H=A$.Πρότυπο:RΠρότυπο:Rp
• Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα $A$ με έναν μιγαδικό αριθμό $c\in ℂ$, $(cA{)}^H=\bar{c}{A}^H$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το άθροισμα των συζυγών ανάστροφων, $(A+B{)}^H=A^H+B^H$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το γινόμενο των συζυγών ανάστροφων, $(AB{)}^H=B^H{A}^H$.Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R
• Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι $\mathrm{tr}(A^H)=\overline{\mathrm{tr}(A)}$.
• Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου, $(A^{-1}{)}^H=(A^H{)}^{-1}$.
• Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή $\det (A^H)=\overline{\det (A)}$.Πρότυπο:Rp

Σχετικές έννοιες

• Ερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί $A=A^H$.
• Αντιερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί $A=-A^H$.

Δείτε επίσης

• Ανάστροφος πίνακας
• Συζυγής πίνακας