Συζυγής πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ο συζυγής του είναι ο πίνακας $\bar{A}$ διαστάσεων $n\times m$ με $(\bar{A}{)}_{ij}=\overline{A_{ij}}$ για κάθε $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Δηλαδή,

$\bar{A}=\left[\begin{array}{cccc}\overline{A_{11}}& \overline{A_{12}}& \dots & \overline{A_{1m}}\\ \overline{A_{21}}& \overline{A_{22}}& \dots & \overline{A_{2m}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \overline{A_{n1}}& \overline{A_{n2}}& \dots & \overline{A_{nm}}\end{array}\right]$

Για παράδειγμα, ο συζυγής του $A=\left[\begin{array}{cc}(3+2i)& 5\\ (1-4i)& (7+2i)\end{array}\right]$ είναι ο $\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}(3-2i)& 5\\ (1+4i)& (7-2i)\end{array}\right]$.

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:

$A=\left[\begin{array}{ccc}(3+2i)& (7-3i)& 5i\\ (9-2i)& 10& (6-5i)\end{array}\right]\bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}(3-2i)& (7+3i)& -5i\\ (9+2i)& 10& (6+5i)\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}(-5+2i)& (3-4i)\\ (4-8i)& (5+3i)\\ (1+3i)& (7-2i)\end{array}\right]\bar{B}=\left[\begin{array}{cc}(-5-2i)& (3+4i)\\ (4+8i)& (5-3i)\\ (1-3i)& (7+2i)\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{ccc}(-5+7i)& (8+2i)& (1-i)\end{array}\right]\bar{C}=\left[\begin{array}{ccc}(-5-7i)& (8-2i)& (1+i)\end{array}\right]$

• Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα $A$ είναι ο ίδιος ο πίνακας $A$, δηλαδή $\bar{A}=A$.Πρότυπο:R Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα ${\mathrm{𝟎}}_{n\times m}$ και τον ταυτοτικό πίνακα $I$, ισχύει $\overline{{\mathrm{𝟎}}_{n\times m}}={\mathrm{𝟎}}_{n\times m}$ και $\bar{I}=I$.
• Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα $A$ είναι ο αντίθετός του $-A$, δηλαδή $\bar{A}=-A$.Πρότυπο:R Για παράδειγμα,

$A=\left[\begin{array}{cc}3i& -6i\\ 7i& 4i\end{array}\right]\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}-3i& 6i\\ -7i& -4i\end{array}\right]$

Ιδιότητες

• Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το άθροισμα των συζυγών, $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$.

• Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα $A$ με έναν μιγαδικό αριθμό $c\in ℂ$, $\overline{cA}=\bar{c}\bar{A}$.

• Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το γινόμενο των συζυγών, $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$.

• Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, $\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$.

• Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, $\overline{A^T}=(\bar{A}{)}^T$.

• Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι $\mathrm{tr}(\bar{A})=\overline{\mathrm{tr}(A)}$.

• Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, $\overline{A^{-1}}=(\bar{A}{)}^{-1}$.

• Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή $\det (\bar{A})=\overline{\det (A)}$.Πρότυπο:RΠρότυπο:Rp

Δείτε επίσης

• Συζυγής μιγαδικός αριθμός
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας