Πίνακας τζάκετ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας τζάκετ είναι ένας τετραγωνικός συμμετρικός πίνακας.

$A=(a_{ij})$

τάξης n αν οι καταχωρήσεις του είναι μη μηδενικές και πραγματικός, μιγαδικός, ή από ένα πεπερασμένο σώμα, και

Ιεραρχία τύπων πινάκων

$AB=BA=I_n$

όπου I_n είναι ο ταυτοτικός πίνακας, και

$B=\frac{1}{n}(a_{ij}^{-1}{)}^T.$

όπου T δηλώνει την ανάστροφη του πίνακα.

Με άλλα λόγια, ο αντίστροφος ενός πίνακα τζάκετ καθορίζεται από τον αντίστροφο κατά στοιχείο ή κατά μπλοκ. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί επίσης να εκφραστεί ως εξής:

$\mathrm{\forall }u,v\in \{1,2,\dots ,n\}:a_{iu},a_{iv}\ne 0,\sum _{i=1}^n{a}_{iu}^{-1}{a}_{iv}=\{\begin{array}{cc}n,& u=v\\ 0,& u\ne v\end{array}$

Ο πίνακας τζάκετ είναι μια γενίκευση του πίνακα Ανταμάρ - είναι ένας διαγώνιος αντίστροφος πίνακας κατά μπλοκ.

Κίνητρα

n	.... −2, −1, 0 1, 2,.....	λογάριθμος
2n	....$\frac{1}{4},\frac{1}{2},$ 1, 2, 4, ...	σειρές

Όπως φαίνεται στον πίνακα, δηλαδή στη σειρά, όπως παραδείγματος χάριν με n=2, προς τα εμπρός: $2^2=4$, αντίστροφη : $(2^2{)}^{-1}=\frac{1}{4}$, τότε, $4*\frac{1}{4}=1$. Δηλαδή, υπάρχει ένα αντίστροφο ανά στοιχείο.

Παράδειγμα 1.

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -2& 2& -1\\ 1& 2& -2& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right],$:$B=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right].$

ή γενικότερα

$A=\left[\begin{array}{cccc}a& b& b& a\\ b& -c& c& -b\\ b& c& -c& -b\\ a& -b& -b& a\end{array}\right],$:$B=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{a}& \frac{1}{b}& \frac{1}{b}& \frac{1}{a}\\ \frac{1}{b}& -\frac{1}{c}& \frac{1}{c}& -\frac{1}{b}\\ \frac{1}{b}& \frac{1}{c}& -\frac{1}{c}& -\frac{1}{b}\\ \frac{1}{a}& -\frac{1}{b}& -\frac{1}{b}& \frac{1}{a}\end{array}\right],$

Παράδειγμα 2.

Για πίνακες m x m, ${𝐀}_{𝐣},$

${𝐀}_{𝐣}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1,A_2,..A_n)$ συμβολίζει έναν διαγώνιο πίνακα Τζάκετ mn x mn με διαγώνιο σύνθετο.

$J_4=\left[\begin{array}{cccc}{I}_2& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& I_2\end{array}\right],$ $J_4^T{J}_4=J_4{J}_4^T=I_4.$

Παράδειγμα 3.

Τύπος του Όιλερ:

$e^{i\pi }+1=0$, $e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$ and $e^{-i\pi }=\cos \pi -i\sin \pi =-1$.

Ως εκ τούτου,

$e^{i\pi }{e}^{-i\pi }=(-1)(\frac{1}{-1})=1$.

Επιπλέον,

$y=e^x$

$\frac{dy}{dx}=e^x$,$\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}=e^x\frac{1}{e^x}=1$.

Τέλος,

A·B = B·A = I

Παράδειγμα 4.

Ας θεωρήσουμε ότι $[𝐀{]}_N$ είναι 2x2 πίνακες μπλοκ τάξης $N=2p$. 

$[𝐀{]}_N=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_0& {𝐀}_1\\ {𝐀}_1& {𝐀}_0\end{array}\right],$.

Αν $[{𝐀}_0{]}_p$ και $[{𝐀}_1{]}_p$ είναι πίνακες pxp Τζάκετ, τότε ο $[A{]}_N$ είναι κυκλικοτερής σύνθετος πίνακας αν και μόνο αν ${𝐀}_0{𝐀}_1^{rt}+{𝐀}_1^{rt}{𝐀}_0$, όπου rt συμβολίζει την ανάστροφη μεταφορά.

Παράδειγμα 5.

Έστω ${𝐀}_0=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],$ και ${𝐀}_1=\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right],$, τότε ο πίνακας $[𝐀{]}_N$ δίνεται από τη σχέση

$[𝐀{]}_4=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_0& {𝐀}_1\\ {𝐀}_0& {𝐀}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& 1\\ -1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right],$,

$[𝐀{]}_4$⇒${\left[\begin{array}{cccc}U& C& A& G\end{array}\right]}^T\otimes \left[\begin{array}{cccc}U& C& A& G\end{array}\right]\otimes {\left[\begin{array}{cccc}U& C& A& G\end{array}\right]}^T,$

όπου U, C, A, G δηλώνει την ποσότητα των νουκλεοβασών του DNA και ο πίνακας $[𝐀{]}_4$ είναι ο κυκλικοτερής σύνθετος πίνακας Τζάκετ που οδηγεί στην αρχή του Ανταγωνισμού με τον πίνακα του Γενετικού Κώδικα Νίρενμπεργκ.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.Πρότυπο:ISBN
• Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Δέλτα του Κρόνεκερ
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πεπερασμένο σώμα
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Ζακ Ανταμάρ
• Τύπος του Όιλερ
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Mathematical Methods For Physicists
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Representation of Rings Over Skew Fields
• Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
• Generalized Sylvester Equations: Unified Parametric Solutions

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Technical report: Linear-fractional Function, Elliptic Curves, and Parameterized Jacket Matrices
• Jacket Matrix and Its Fast Algorithms for Cooperative Wireless Signal Processing
• Jacket Matrices: Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing