Εικασία του Γκρίνμπεργκ

Η εικασία του Γκρίνμπεργκ είναι μία από τις δύο εικασίες στην αλγεβρική θεωρία αριθμών που προτάθηκαν από τον Ραλφ Γκρίνμπεργκ. Και οι δύο είναι ακόμη άλυτες.

Εικασία των αναλλοίωτων

Η πρώτη εικασία προτάθηκε το 1976 και αφορά τις αναλλοίωτες Ιβασάουα. Αυτή η εικασία σχετίζεται με την εικασία του Βαντίβερ, την εικασία του Λέοπολντ, την εικασία του Μπιρτς-Τέιτ, οι οποίες είναι επίσης άλυτες.

Η εικασία, που αναφέρεται επίσης ως εικασία των αναλλοίωτων του Γκρίνμπεργκ, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη διατριβή του Γκρίνμπεργκ στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον το 1971 και αρχικά ανέφερε ότι, υποθέτοντας ότι το $F$ είναι ένα ολικά πραγματικό σώμα αριθμών και ότι το $F_{\mathrm{\infty }}/F$ είναι η κυκλοτομική ${\mathbb{Z}}_p$-επέκταση, $\lambda (F_{\mathrm{\infty }}/F)=\mu (F_{\mathrm{\infty }}/F)=0$, i. δηλ. η δύναμη του $p$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $F_n$ περιορίζεται ως $n\to \mathrm{\infty }$. Ας σημειωθεί ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για την $F$ και την $p$, η μόνη ${\mathbb{Z}}_p$-επέκταση της $F$ είναι η κυκλωματική (αφού είναιολικά πραγματική).

Το 1976, ο Γκρίνμπεργκ επέκτεινε την εικασία παρέχοντας περισσότερα παραδείγματα για αυτήν και την αναδιατύπωσε ελαφρώς ως εξής: δεδομένου ότι $k$ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του $𝐐$ και ότι $\ell$ είναι ένας σταθερός πρώτος, με την εξέταση των υποσωμάτων των κυκλωματικών επεκτάσεων του $k$, μπορεί κανείς να ορίσει έναν πύργο αριθμητικών σωμάτων $k=k_0\subset k_1\subset k_2\subset \cdots \subset k_n\subset \cdots$ έτσι ώστε $k_n$ να είναι κυκλική επέκταση του $k$ βαθμού ${\ell }^n$. Αν το $k$ είναι ολικά πραγματικό, η δύναμη του $l$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $k_n$ περιορίζεται ως $n\to \mathrm{\infty }$; Τώρα, αν το $k$ είναι ένα αυθαίρετο αριθμητικό σώμα, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\lambda$, $\mu$ και $\nu$ τέτοιοι ώστε η δύναμη του $\ell$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $k_n$ να είναι ${\ell }^{e_n}$, όπου $e_n=\lambda n+{\mu }^{{\ell }_n}+\nu$ για όλα τα επαρκώς μεγάλα $n$. Οι ακέραιοι $\lambda$, $\mu$, $\nu$ εξαρτώνται μόνο από τα $k$ και $\ell$. Τότε, ρωτάμε: είναι $\lambda =\mu =0$ για $k$ ολικά πραγματικό;

Με απλά λόγια, η εικασία ρωτάει αν έχουμε ${\mu }_{\ell }(k)={\lambda }_{\ell }(k)=0$ για οποιοδήποτε σώμα απόλυτα πραγματικών αριθμών $k$ και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό $\ell$, ή η εικασία μπορεί επίσης να αναδιατυπωθεί ως ερώτημα αν και οι δύο αναλλοίωτες λ και μ που συνδέονται με την κυκλωματική $Z_p$-επέκταση ενός σώματος ολικά πραγματικών αριθμών εκμηδενίζεται.

Το 2001, ο Γκρίνμπεργκ γενίκευσε την εικασία (κάνοντάς την έτσι γνωστή ως ψευδο-μηδενική εικασία του Γκρίνμπεργκ ή, μερικές φορές, ως γενικευμένη εικασία του Γκρίνμπεργκ):

Υποθέτοντας ότι το $F$ είναι ένα σώμα ολικά πραγματικών αριθμών και ότι το $p$ είναι ένας πρώτος αριθμός, έστω $\tilde{F}$ που συμβολίζει το σύνολο όλων των ${\mathbb{Z}}_p$-επεκτάσεων του $F$. (Υπενθυμίζουμε ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για $F$ και $p$, τότε $\tilde{F}=F$). Έστω $\tilde{L}$ το σώμα κλάσης Χίλμπερτ pro-$p$ του $\tilde{F}$ και έστω $\tilde{X}=\mathrm{Gal}(\tilde{L}/\tilde{F})$, θεωρούμενη ως ενότητα πάνω από τον δακτύλιο $\tilde{\mathrm{\Lambda }}={\mathbb{Z}}_p[[\mathrm{Gal}(\tilde{F}/F)]]$. Τότε το $\tilde{X}$ είναι ένα ψευδο-μηδενικό $\tilde{\mathrm{\Lambda }}$-module.

Μια πιθανή αναδιατύπωση: Έστω $\tilde{k}$ το σύνολο όλων των ${\mathbb{Z}}_p$-επεκτάσεων του $k$ και έστω $\mathrm{Gal}(\tilde{k}/k)\simeq {\mathbb{Z}}_p^n$, τότε το $Y_{\tilde{k}}$ είναι ένα ψευδο-μηδενικό ${\mathrm{\Lambda }}_n$-module.

Μια άλλη σχετική εικασία (επίσης άλυτη μέχρι στιγμής) υπάρχει:

Έχουμε ${\mu }_{\ell }(k)=0$ για κάθε αριθμητικό σώμα $k$ και κάθε πρώτο αριθμό $\ell$.

Αυτή η σχετική εικασία δικαιολογήθηκε από τους Μπρους Φερέρο και Λάρι Γουάσινγκτον, οι οποίοι απέδειξαν (βλ.: Θεώρημα Φερέρο-Γουάσινγκτον) ότι ${\mu }_{\ell }(k)=0$ για οποιαδήποτε αβελιανή επέκταση $k$ του ρητού αριθμητικού σώματος $\mathbb{Q}$ και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό $\ell$.

Εικασία της p-ρητότητας

Μια άλλη εικασία, η οποία μπορεί να αναφέρεται ως εικασία του Γκρίνμπεργκ, προτάθηκε από τον Γκρίνμπεργκ το 2016 και είναι γνωστή ως εικασία της $p$-ορθολογικότητας του Γκρίνμπεργκ. Δηλώνει ότι για κάθε περιττό πρώτο $p$ και για κάθε $t$, υπάρχει ένα $p$-ορθολογικό πεδίο $K$ τέτοιο ώστε $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}{)}^t$. Αυτή η εικασία σχετίζεται με το Αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Συζυγής μιγαδικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Ελλειπτική καμπύλη
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Τετραγωνικός αριθμός
• Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Κράμερ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Κλάση συζυγίας
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• <Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
• S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation