Ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά $\alpha$ ονομάζεται υποτείνουσα και οι πλευρές $\beta$ και $\gamma$ είναι οι δύο κάθετες.

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Πρότυπο:Clear

Ιδιότητες

• Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
• Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή της ορθής γωνίας του.
• Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ του ορθογωνίου τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος έχει ακίνα $R=\frac{1}{2}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με την γωνία $\hat{\mathrm{A}}$ ορθή ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα $\rho =\frac{\beta \cdot \gamma }{\alpha +\beta +\gamma }$ και το έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες $(\rho ,\rho )$ στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το $\mathrm{A}$ και άξονες τις ευθείες των πλευρών $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$.

• Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με την γωνία $\hat{\mathrm{A}}$ ορθή το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με την υποτείνουσα αυξημένη κατά την διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή $\beta +\gamma =\alpha +2\rho$.

Μετρικές σχέσεις

Πρότυπο:Anchor Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με την γωνία $\hat{\mathrm{A}}$ ορθή και το ύψος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

• ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2=\mathrm{\Delta }\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και ${\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2=\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• (Πυθαγόρειο Θεώρημα) ${\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2={\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2$ (ή αντίστοιχα ${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2$). Ισχύει και το αντίστροφο.

• ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2\cdot \mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }={\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2\cdot \mathrm{\Delta }\mathrm{B}$.

• ${\upsilon }_a^2={\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2=\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

• $\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• $\frac{1}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}+\frac{1}{\mathrm{A}{\mathrm{\Gamma }}^2}=\frac{1}{{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{\Gamma }.$

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:Πρότυπο:R

• Πρότυπο:AnchorΚριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.

• Πρότυπο:AnchorΚριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα.

Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

Με γωνίες 30°-60°-90°

Ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°. Το $\mathrm{M}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
• Το τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{B}$ είναι ισόπλευρο.
• Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα $1$, $\sqrt{3}$ και $2$.

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι οξείες γωνίες του είναι 45°.
• Αν $x$ είναι το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος $x\sqrt{2}$.
• Το εμβαδόν του είναι $\mathrm{E}=\frac{1}{2}{x}^2$.
• Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }$ στο σχήμα).

Τρίγωνο Κέπλερ

Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών του.

Πρότυπο:Κύριο Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα $1$, $\sqrt{\phi }$ και $\phi$, όπου $\phi$ είναι ο χρυσός λόγος.

Πρότυπο:Clear

Περαιτέρω θέματα

Τριγωνομετρία

Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία $\phi$.

Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας $\phi$. Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία $\phi \in (0,90^{\circ })$, ισχύει ότι

$\sin \phi =\frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$

$\cos \phi =\frac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$

$\tan \phi =\frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}$.

Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών $(a,b,c)$ τέτοιες ώστε $c^2=a^2+b^2$.
Για παράδειγμα η τριάδα $(3,4,5)$ είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$.
Αλλά η τριάδα $(7,8,9)$ δεν είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: ${\mathrm{7}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{8}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{4}\mathrm{9}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{3}$ ≠ $9^2=81$. Πρότυπο:Clear

Σχέση με το ψευδο-ορθογώνιο τρίγωνο

Το ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και το σχετικό του ορθογώνιο $\mathrm{A}\mathrm{B}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$. Έχουν $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }$, την $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ κοινή και το ύψος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ κοινό.

Ένα τρίγωνο λέγεται ψευδοορθογώνιο αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, για παράδειγμα αν $\hat{\mathrm{B}}-\hat{\mathrm{\Gamma }}=90^{\circ }$. Παίρνει αυτή την ονομασία, καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο $\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{\Gamma }$ με το οποίο έχει δύο πλευρές ίσες ($\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }$ και την $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ κοινή) και κοινό ύψος (το $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$). Το ψευδοορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι τα μόνα τρίγωνα που ικανοποιούν τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:Πρότυπο:R

• ${\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2=\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$,
• ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }={\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Delta }$, και
• $\frac{1}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}+\frac{1}{\mathrm{A}{\mathrm{\Gamma }}^2}=\frac{1}{{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2}$.

Σπείρα Θεόδωρου

Η σπείρα του Θεόδωρου.

Η σπείρα του Θεόδωρου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους $1$ (και υποτείνουσας μήκους $\sqrt{2}$). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους $1$. Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους $\sqrt{3}$. Στην γενική περίπτωση, το $(n+1)$-οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους $1$. Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι

$\sqrt{{\sqrt{n}}^2+1^2}=\sqrt{n+1}$.

Πλακοστρώσεις

Τμήμα της πλακόστρωσης pinwheel.

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο. Πρότυπο:Clear

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τριγωνομετρία
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
• Πυθαγόρεια τριάδα
• Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο