Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων^[1]^[2]. Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών συναρτήσεων, ανατρέξτε στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων.^[3]^[4]

Αόριστο ολοκλήρωμα

Τα αόριστα ολοκληρώματα^[5] είναι αντιπαραγωγικές συναρτήσεις. Μια σταθερά (η σταθερά της ολοκλήρωσης) μπορεί να προστεθεί στο δεξί μέρος οποιουδήποτε από αυτούς τους τύπους, αλλά έχει αποσιωπηθεί εδώ για λόγους συντομίας.

Ολοκληρώματα πολυωνύμων

$\int x e^{c x} d x = e^{c x} (\frac{c x - 1}{c^{2}}) for c \neq 0;$
$\int x^{2} e^{c x} d x = e^{c x} (\frac{x^{2}}{c} - \frac{2 x}{c^{2}} + \frac{2}{c^{3}})$
$\begin{matrix} \int x^{n} e^{c x} d x & = \frac{1}{c} x^{n} e^{c x} - \frac{n}{c} \int x^{n - 1} e^{c x} d x \\ = {(\frac{\partial}{\partial c})}^{n} \frac{e^{c x}}{c} \\ = e^{c x} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} \frac{n!}{(n - i)! c^{i + 1}} x^{n - i} \\ = e^{c x} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} \frac{n!}{i! c^{n - i + 1}} x^{i} \end{matrix}$
$\int \frac{e^{c x}}{x} d x = \ln | x | + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(c x)^{n}}{n \cdot n!}$
$\int \frac{e^{c x}}{x^{n}} d x = \frac{1}{n - 1} (- \frac{e^{c x}}{x^{n - 1}} + c \int \frac{e^{c x}}{x^{n - 1}} d x) (for n \neq 1)$

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο εκθετικές συναρτήσεις

$\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)}$
$\int e^{c x} d x = \frac{1}{c} e^{c x}$
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} για a > 0, a \neq 1$

Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει τη συνάρτηση σφάλματος

Στους ακόλουθους τύπους, Πρότυπο:Math είναι η συνάρτηση σφάλματος και Πρότυπο:Math είναι το εκθετικό ολοκλήρωμα.

$\int e^{c x} \ln x d x = \frac{1}{c} (e^{c x} \ln | x | - Ei (c x))$
$\int x e^{c x^{2}} d x = \frac{1}{2 c} e^{c x^{2}}$
$\int e^{- c x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{4 c}} \erf (\sqrt{c} x)$
$\int x e^{- c x^{2}} d x = - \frac{1}{2 c} e^{- c x^{2}}$
$\int \frac{e^{- x^{2}}}{x^{2}} d x = - \frac{e^{- x^{2}}}{x} - \sqrt{π} \erf (x)$
$\int \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} d x = \frac{1}{2} \erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}})$

Άλλα ολοκληρώματα

$\int e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} (\sum_{j = 0}^{n - 1} c_{2 j} \frac{1}{x^{2 j + 1}}) + (2 n - 1) c_{2 n - 2} \int \frac{e^{x^{2}}}{x^{2 n}} d x valid for any n > 0,$
where $c_{2 j} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 j - 1)}{2^{j + 1}} = \frac{(2 j)!}{j! 2^{2 j + 1}} .$

( Επισημαίνουμε ότι η τιμή της έκφρασης είναι ανεξάρτητη από την τιμή του Πρότυπο:Mvar, γι' αυτό και δεν εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα.)

$\int \underset{m}{\underset{⏟}{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}} d x = \sum_{n = 0}^{m} \frac{(- 1)^{n} (n + 1)^{n - 1}}{n!} Γ (n + 1, - \ln x) + \sum_{n = m + 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{m n} Γ (n + 1, - \ln x) (for x > 0)$

οπου $a_{m n} = {\begin{matrix} 1 & if n = 0, \\ \frac{1}{n!} & if m = 1, \\ \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} j a_{m, n - j} a_{m - 1, j - 1} & otherwise \end{matrix}$

και Πρότυπο:Math είναι η ανώτερη ατελής συνάρτηση γάμμα.

$\int \frac{1}{a e^{λ x} + b} d x = \frac{x}{b} - \frac{1}{b λ} \ln (a e^{λ x} + b)$ όταν $b \neq 0$ , $λ \neq 0$ , και $a e^{λ x} + b > 0 .$
$\int \frac{e^{2 λ x}}{a e^{λ x} + b} d x = \frac{1}{a^{2} λ} [a e^{λ x} + b - b \ln (a e^{λ x} + b)]$ όταν $a \neq 0$ , $λ \neq 0$ , και $a e^{λ x} + b > 0 .$
$\int \frac{a e^{c x} - 1}{b e^{c x} - 1} d x = \frac{(a - b) \log (1 - b e^{c x})}{b c} + x .$
$\int e^{x} (f (x) + f^{'} (x)) dx = e^{x} f (x) + C$

$\int e^{x} (f (x) - {(- 1)}^{n} \frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}}) d x = e^{x} \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k - 1} \frac{d^{k - 1} f (x)}{d x^{k - 1}} + C$
$\int e^{- x} (f (x) - \frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}}) d x = - e^{- x} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d^{k - 1} f (x)}{d x^{k - 1}} + C$

$\int e^{a x} ({(a)}^{n} f (x) - {(- 1)}^{n} \frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}}) d x = e^{a x} \sum_{k = 1}^{n} {(a)}^{n - k} {(- 1)}^{k - 1} \frac{d^{k - 1} f (x)}{d x^{k - 1}} + C$

Ορισμένα ολοκληρώματα

$\begin{matrix} \int_{0}^{1} e^{x \cdot \ln a + (1 - x) \cdot \ln b} d x & = \int_{0}^{1} {(\frac{a}{b})}^{x} \cdot b d x \\ = \int_{0}^{1} a^{x} \cdot b^{1 - x} d x \\ = \frac{a - b}{\ln a - \ln b} for a > 0, b > 0, a \neq b \end{matrix}$

Η τελευταία έκφραση είναι ο λογαριθμικός μέσος όρος.

$\int_{0}^{\infty} e^{- a x} d x = \frac{1}{a} (Re (a) > 0)$
$\int_{0}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} (a > 0)$ (το ολοκλήρωµα του Γκάους)
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} (a > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} e^{- \frac{b}{x^{2}}} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{- 2 \sqrt{a b}} (a, b > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- (a x^{2} + b x)} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2}}{4 a}} (a > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- (a x^{2} + b x + c)} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2}}{4 a} - c} (a > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} e^{- 2 b x} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2}}{a}} (a > 0)$ (βλ. Ολοκλήρωμα γκαουσιανής συνάρτησης)
$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- a (x - b)^{2}} d x = b \sqrt{\frac{π}{a}} (Re (a) > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- a x^{2} + b x} d x = \frac{\sqrt{π} b}{2 a^{3 / 2}} e^{\frac{b^{2}}{4 a}} (Re (a) > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}} d x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a^{3}}} (a > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- (a x^{2} + b x)} d x = \frac{\sqrt{π} (2 a + b^{2})}{4 a^{5 / 2}} e^{\frac{b^{2}}{4 a}} (Re (a) > 0)$
$\int_{- \infty}^{\infty} x^{3} e^{- (a x^{2} + b x)} d x = \frac{\sqrt{π} (6 a + b^{2}) b}{8 a^{7 / 2}} e^{\frac{b^{2}}{4 a}} (Re (a) > 0)$
$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- a x^{2}} d x = {\begin{matrix} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{2 (a^{\frac{n + 1}{2}})} & (n > - 1, a > 0) \\ \frac{(2 k - 1)!!}{2^{k + 1} a^{k}} \sqrt{\frac{π}{a}} & (n = 2 k, k integer, a > 0) \\ \frac{k!}{2 (a^{k + 1})} & (n = 2 k + 1, k integer, a > 0) \end{matrix}$

(ο τελεστής $!!$ είναι το Διπλό παραγοντικό)

$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- a x} d x = {\begin{matrix} \frac{Γ (n + 1)}{a^{n + 1}} & (n > - 1, Re (a) > 0) \\ \frac{n!}{a^{n + 1}} & (n = 0, 1, 2, \dots, Re (a) > 0) \end{matrix}$
$\int_{0}^{1} x^{n} e^{- a x} d x = \frac{n!}{a^{n + 1}} [1 - e^{- a} \sum_{i = 0}^{n} \frac{a^{i}}{i!}]$
$\int_{0}^{b} x^{n} e^{- a x} d x = \frac{n!}{a^{n + 1}} [1 - e^{- a b} \sum_{i = 0}^{n} \frac{(a b)^{i}}{i!}]$
$\int_{0}^{\infty} e^{- a x^{b}} d x = \frac{1}{b} a^{- \frac{1}{b}} Γ (\frac{1}{b})$
$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- a x^{b}} d x = \frac{1}{b} a^{- \frac{n + 1}{b}} Γ (\frac{n + 1}{b})$
$\int_{0}^{\infty} e^{- a x} \sin b x d x = \frac{b}{a^{2} + b^{2}} (a > 0)$
$\int_{0}^{\infty} e^{- a x} \cos b x d x = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} (a > 0)$
$\int_{0}^{\infty} x e^{- a x} \sin b x d x = \frac{2 a b}{(a^{2} + b^{2})^{2}} (a > 0)$
$\int_{0}^{\infty} x e^{- a x} \cos b x d x = \frac{a^{2} - b^{2}}{(a^{2} + b^{2})^{2}} (a > 0)$
$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x} \sin b x}{x} d x = \arctan \frac{b}{a}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} d x = \ln \frac{b}{a}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} \sin p x d x = \arctan \frac{b}{p} - \arctan \frac{a}{p}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} \cos p x d x = \frac{1}{2} \ln \frac{b^{2} + p^{2}}{a^{2} + p^{2}}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x} (1 - \cos x)}{x^{2}} d x = arccot a - \frac{a}{2} \ln (\frac{1}{a^{2}} + 1)$
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + f} d x = e^{f} \sum_{n, m, p = 0}^{\infty} \frac{b^{4 n}}{(4 n)!} \frac{c^{2 m}}{(2 m)!} \frac{d^{4 p}}{(4 p)!} \frac{Γ (3 n + m + p + \frac{1}{4})}{a^{3 n + m + p + \frac{1}{4}}}$ (εμφανίζεται σε διάφορα μοντέλα της εκτεταμένης θεωρίας υπερχορδών σε υψηλότερες διαστάσεις)
$\int_{0}^{2 π} e^{x \cos θ} d θ = 2 π I_{0} (x)$ (Πρότυπο:Math είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Μπέσελ πρώτου είδους)
$\int_{0}^{2 π} e^{x \cos θ + y \sin θ} d θ = 2 π I_{0} (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$
$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^{x} / z - 1} d x = {Li}_{s} (z) Γ (s),$

όπου ${Li}_{s} (z)$ είναι ο Πολυλογάριθμος.

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin m x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{4} \coth \frac{m}{2} - \frac{1}{2 m}$
$\int_{0}^{\infty} e^{- x} \ln x d x = - γ,$

όπου $γ$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι, η οποία ισούται με την τιμή ενός αριθμού οριστικών ολοκληρωμάτων.

Τέλος, ένα γνωστό αποτέλεσμα, $\int_{0}^{2 π} e^{i (m - n) ϕ} d ϕ = 2 π δ_{m, n} for m, n \in ℤ$

όπου $δ_{m, n}$ είναι το δέλτα Κρόνεκερ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
StatLib–JASA Data Archive
UCI – a machine learning repository
UK Government Public Data
World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
Πρότυπο:Cite book
Πρότυπο:Citation
Πρότυπο:Citation

Πρότυπο:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite web

[5] Πρότυπο:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

Περιεχόμενα

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ολοκληρώματα πολυωνύμων

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο εκθετικές συναρτήσεις

Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει τη συνάρτηση σφάλματος

Άλλα ολοκληρώματα

Ορισμένα ολοκληρώματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ολοκληρώματα πολυωνύμων

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο εκθετικές συναρτήσεις

Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει τη συνάρτηση σφάλματος

Άλλα ολοκληρώματα

Ορισμένα ολοκληρώματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση