Κατάλογος ορισμένων ολοκληρωμάτων

Αυτή η σελίδα περιέχει έναν κατάλογο ορισμένων ολοκληρωμάτων. Για τα λοιπά ολοκληρώματα δείτε τους αντίστοιχους καταλόγους ολοκληρωμάτων.

Στα μαθηματικά, το ορισμένο ολοκλήρωμα

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

είναι το εμβαδόν της περιοχής στο επίπεδο xy που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x και τις ευθείες x = a και x = b, έτσι ώστε το εμβαδόν πάνω από τον άξονα x να προστίθεται στο σύνολο και το εμβαδόν κάτω από τον άξονα x να αφαιρείται από το σύνολο.

Το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού καθορίζει τη σχέση μεταξύ αόριστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων και εισάγει μια τεχνική για την αξιολόγηση ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Εάν το διάστημα είναι άπειρο, το ορισμένο ολοκλήρωμα ονομάζεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα και ορίζεται με τη χρήση κατάλληλων διαδικασιών περιορισμού. για παράδειγμα:

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$

Μια σταθερά, όπως το π, που μπορεί να οριστεί από το ολοκλήρωμα μιας αλγεβρικής συνάρτησης σε ένα αλγεβρικό πεδίο, είναι γνωστή ως περίοδος.

Ακολουθεί ένας κατάλογος μερικών από τα πιο συνηθισμένα ή ενδιαφέροντα ορισμένα ολοκληρώματα. Για έναν κατάλογο των αόριστων ολοκληρωμάτων βλέπε Κατάλογος αόριστων ολοκληρωμάτων.

Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν ρητές ή άρρητες εκφράσεις

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^p}=\frac{\pi /p}{\sin (\pi /p)}\text{for }\mathrm{\Re }(p)>1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{p-1}dx}{1+x}=\frac{\pi }{\sin (p\pi )}\text{for }0<p<1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{m}dx}{x^n+a^n}=\frac{\pi a^{m-n+1}}{n\sin \left(\frac{m+1}{n}\pi \right)}\text{for }0<m+1<n$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{m}dx}{1+2x\cos \beta +x^2}=\frac{\pi }{\sin (m\pi )}\cdot \frac{\sin (m\beta )}{\sin (\beta )}$

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}$

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^m(a^n-x^n{)}^{p}dx=\frac{a^{m+1+np}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{n}\right)\mathrm{\Gamma }(p+1)}{n\mathrm{\Gamma }(\frac{m+1}{n}+p+1)}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{m}dx}{({x^n+a^n)}^r}=\frac{(-1{)}^{r-1}\pi a^{m+1-nr}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{n}\right)}{n\sin \left(\frac{m+1}{n}\pi \right)(r-1)!\mathrm{\Gamma }(\frac{m+1}{n}-r+1)}\text{for }n(r-2)<m+1<nr$

Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)\sin (nx)dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \\ \frac{\pi }{2}& \text{if }m=n\end{array}\text{for }m,n\text{ positive integers}$

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (mx)\cos (nx)dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \\ \frac{\pi }{2}& \text{if }m=n\end{array}\text{for }m,n\text{ positive integers}$

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)\cos (nx)dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m+n\text{ even}\\ \\ \frac{2m}{m^2-n^2}& \text{if }m+n\text{ odd}\end{array}\text{for }m,n\text{ integers}.$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^2(x)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2(x)dx=\frac{\pi }{4}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2m}(x)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{2m}(x)dx=\frac{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m-1)}{2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}\cdot \frac{\pi }{2}\text{for }m=1,2,3\dots$

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\sin }^{2m}(t)dt=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}(x-\sin (x)\cos (x)(1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}\left)\right)\text{for }m=1,2,3\dots$

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\cos }^{2m}(t)dt=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}(x-\sin (x)\cos (x)(1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\cos }^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}\left)\right)\text{for }m=1,2,3\dots$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2m+1}(x)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{2m+1}(x)dx=\frac{2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m+1)}\text{for }m=1,2,3\dots$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2p-1}(x){\cos }^{2q-1}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{2\mathrm{\Gamma }(p+q)}=\frac{1}{2}\text{B}(p,q)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (px)}{x}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& \text{if }p>0\\ \\ 0& \text{if }p=0\\ \\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }p<0\end{array}$ (βλ. ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin px\cos qx}{x}dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }q>p>0\\ \\ \frac{\pi }{2}& \text{ if }0<q<p\\ \\ \frac{\pi }{4}& \text{ if }p=q>0\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin px\sin qx}{x^2}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi p}{2}& \text{ if }0<p\le q\\ \\ \frac{\pi q}{2}& \text{ if }0<q\le p\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^{2}px}{x^2}dx=\frac{\pi p}{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos px}{x^2}dx=\frac{\pi p}{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos px-\cos qx}{x}dx=\ln \frac{q}{p}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos px-\cos qx}{x^2}dx=\frac{\pi (q-p)}{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos mx}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2a}{e}^{-ma}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\sin mx}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2}{e}^{-ma}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin mx}{x(x^2+a^2)}dx=\frac{\pi }{2a^2}(1-e^{-ma})$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{dx}{a+b\sin x}=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{{\cos }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)}{\sqrt{a^2-b^2}}$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{dx}{(a+b\sin x{)}^2}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{dx}{(a+b\cos x{)}^2}=\frac{2\pi a}{(a^2-b^2{)}^{3/2}}$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{dx}{1-2a\cos x+a^2}=\frac{2\pi }{1-a^2}\text{for }0<a<1$

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x\sin xdx}{1-2a\cos x+a^2}=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{a}\ln |1+a|& \text{if }|a|<1\\ \\ \frac{\pi }{a}\ln |1+\frac{1}{a}|& \text{if }|a|>1\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\cos mxdx}{1-2a\cos x+a^2}=\frac{\pi a^m}{1-a^2}\text{for }{a}^2<1,m=0,1,2,\dots$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin a{x}^{2}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos a{x}^2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2a}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin a{x}^n=\frac{1}{n{a}^{1/n}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)\sin \frac{\pi }{2n}\text{for }n>1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos a{x}^n=\frac{1}{n{a}^{1/n}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}\text{for }n>1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^p}dx=\frac{\pi }{2\mathrm{\Gamma }(p)\sin \left(\frac{p\pi }{2}\right)}\text{for }0<p<1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{x^p}dx=\frac{\pi }{2\mathrm{\Gamma }(p)\cos \left(\frac{p\pi }{2}\right)}\text{for }0<p<1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin a{x}^2\cos 2bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2a}}(\cos \frac{b^2}{a}-\sin \frac{b^2}{a})$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos a{x}^2\cos 2bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2a}}(\cos \frac{b^2}{a}+\sin \frac{b^2}{a})$

Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν εκθετικές συναρτήσεις

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (βλ. επίσης Συνάρτηση Γάμμα)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\cos bxdx=\frac{a}{a^2+b^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\sin bxdx=\frac{b}{a^2+b^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx={\tan }^{-1}\frac{b}{a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx=\ln \frac{b}{a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}-\cos (bx)}{x}dx=\ln \frac{b}{a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}\text{for }a>0$ (το γκαουσιανό ολοκλήρωμα)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\left(\frac{-b^2}{4a}\right)}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)}\cdot \mathrm{erfc}\frac{b}{2\sqrt{a}},\text{ where }\mathrm{erfc}(p)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-ax}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{a^{n+1}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}\text{for }a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{2n-1}{2a}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2(n-1)}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi }{a^{2n+1}}}=\frac{(2n)!}{n!2^{2n+1}}\sqrt{\frac{\pi }{a^{2n+1}}}\text{for }a>0,n=1,2,3\dots$ (όπου !! είναι το διπλό παραγοντικό)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^3{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2a^2}\text{for }a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n+1}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{n}{a}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n-1}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}}\text{for }a>0,n=0,1,2\dots$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^m{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{2}\right)}{2a^{\left(\frac{m+1}{2}\right)}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{(-a{x}^2-\frac{b}{x^2})}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-2\sqrt{ab}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{n-1}}{e^x-1}dx=\mathrm{\Gamma }(n)\zeta (n)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x+1}dx=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\dots =\frac{{\pi }^2}{12}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{e^x+1}dx=n!\cdot \left(\frac{2^n-1}{2^n}\right)\zeta (n+1)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin mx}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{4}\coth \frac{m}{2}-\frac{1}{2m}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1+x}-e^{-x})\frac{dx}{x}=\gamma$ (όπου $\gamma$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x}dx=\frac{\gamma }{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{e^{-x}}{x})dx=\gamma$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x\sec px}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{b^2+p^2}{a^2+p^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x\csc px}dx={\tan }^{-1}\frac{b}{p}-{\tan }^{-1}\frac{a}{p}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-ax}(1-\cos x)}{x^2}dx={\cot }^{-1}a-\frac{a}{2}\ln \left|\frac{a^2+1}{a^2}\right|$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2(n+1)}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}dx=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}\sqrt{2\pi }\text{for }n=0,1,2,\dots$

Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές συναρτήσεις

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(m+1{)}^{n+1}}\text{for }m>-1,n=0,1,2,\dots$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{(-1{)}^{n+1}n!}{(m+1{)}^{n+1}}\text{for }m<-1,n=0,1,2,\dots$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x}{1+x}dx=-\frac{{\pi }^2}{12}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x}{1-x}dx=-\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1-x)}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (a^2+x^2)}{b^2+x^2}dx=\frac{\pi }{b}\ln (a+b)\text{for }a,b>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi \ln a}{2a}\text{for }a>0$

Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν υπερβολικές συναρτήσεις

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin ax}{\sinh bx}dx=\frac{\pi }{2b}\tanh \frac{a\pi }{2b}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos ax}{\cosh bx}dx=\frac{\pi }{2b}\cdot \frac{1}{\cosh \frac{a\pi }{2b}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\sinh ax}dx=\frac{{\pi }^2}{4a^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n+1}}{\sinh ax}dx=c_{2n+1}{\left(\frac{\pi }{a}\right)}^{2(n+1)},c_{2n+1}=\frac{(-1{)}^n}{2}(\frac{1}{2}-\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1})c_{2k+1}),c_1=\frac{1}{4}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\cosh ax}dx=\frac{\pi }{2a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}}{\cosh ax}dx=d_{2n}{\left(\frac{\pi }{a}\right)}^{2n+1},d_{2n}=\frac{(-1{)}^n}{2}(\frac{1}{4^n}-\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2k})d_{2k}),d_0=\frac{1}{2}$

Ολοκληρώματα Φρουλάνι

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=(\underset{x\to 0}{\lim }f(x)-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x))\ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ισχύει εάν το ολοκλήρωμα υπάρχει και το $f^{\prime }(x)$ είναι συνεχές.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite web

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation