Κεντροσυμμετρικός πίνακας

Σχέδιο συμμετρίας ενός κεντροσυμμετρικού πίνακα 5 × 5

Αυτό το άρθρο αναφέρεται σε έναν πίνακα συμμετρικό ως προς το κέντρο του. Για έναν πίνακα συμμετρικό ως προς τη διαγώνιο του, δείτε Συμμετρικός πίνακας.

Στα μαθηματικά, ειδικά στη γραμμική άλγεβρα και τη θεωρία πινάκων, ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας είναι ένας πίνακας που είναι συμμετρικός ως προς το κέντρο του.

Τυπικός ορισμός

Ένας Πρότυπο:Math πίνακας Πρότυπο:Math είναι κεντροσυμμετρικός όταν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν

$A_{i,j}=A_{n-i+1,n-j+1}\text{for all }i,j\in \{1,\dots ,n\}.$

Εναλλακτικά, αν o Πρότυπο:Mvar συμβολίζει τον πίνακα ανταλλαγής Πρότυπο:Math με 1 στην αντιδιαγώνιο και 0 αλλού:

$J_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& i+j=n+1\\ 0,& i+j\ne n+1\end{array}$

τότε ένας πίνακας Πρότυπο:Mvar είναι κεντροσυμμετρικός αν και μόνο αν Πρότυπο:Math}.

Παραδείγματα

• Όλοι οι 2 × 2 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right].$

• Όλοι οι 3 × 3 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& d\\ c& b& a\end{array}\right].$

• Οι συμμετρικοί πίνακες Τόεπλιτς είναι κεντροσυμμετρικοί.

Αλγεβρική δομή και ιδιότητες

• Αν οι Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι Πρότυπο:Math κεντροσυμμετρικοί πίνακες πάνω από ένα σώμα Πρότυπο:Mvar, τότε το ίδιο ισχύει και για τους Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Mvar για κάθε Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar. Επιπλέον, το γινόμενο πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι κεντροσυμμετρικό, αφού Πρότυπο:Math. Δεδομένου ότι ο Ταυτοτικός πίνακας είναι επίσης κεντροσυμμετρικός, προκύπτει ότι το σύνολο του Πρότυπο:Math κεντροσυμμετρικών πινάκων πάνω στο Πρότυπο:Mvar αποτελεί υποάλγεβρα της αντιμεταθετικής άλγεβρας όλων των Πρότυπο:Math πινάκων.
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με Πρότυπο:Mvar-διάστατη ιδιοβάση, τότε τα Πρότυπο:Mvar} ιδιοδιανύσματά του μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούν είτε Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math όπου Πρότυπο:Mvar είναι ο πίνακας ανταλλαγής.
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με διακριτές ιδιοτιμές, τότε οι πίνακες που αντιμετατίθενται με Πρότυπο:Mvar πρέπει να είναι κεντροσυμμετρικοί.
• Ο μέγιστος αριθμός μοναδικών στοιχείων σε έναν Πρότυπο:Math κεντροσυμμετρικό πίνακα είναι

$\frac{m^2+mmod2}{2}.$

Σχετικές δομές

Ένας Πρότυπο:Math πίνακας Πρότυπο:Mvar λέγεται λοξά-κεντροσυμμετρικός αν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν $A_{i,j}=-A_{n-i+1,n-j+1}\text{for all }i,j\in \{1,\dots ,n\}.$

Αντίστοιχα, η Πρότυπο:Mvar είναι λοξοκεντροσυμμετρική αν Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Mvar είναι ο πίνακας ανταλλαγής που ορίστηκε προηγουμένως.

Η κεντροσυμμετρική σχέση Πρότυπο:Math} προσφέρεται για μια φυσική γενίκευση, όπου Πρότυπο:Mvar αντικαθίσταται με έναν Ενελικτικό πίνακα Πρότυπο:Mvar (i.e., Πρότυπο:Math) ή, γενικότερα, ένας πίνακας Πρότυπο:Mvar που ικανοποιεί Πρότυπο:Math για έναν ακέραιο Πρότυπο:Math. Έχει επίσης μελετηθεί το αντίστροφο πρόβλημα για τη σχέση αντιμετάθεσης Πρότυπο:Math του προσδιορισμού όλων των αναπόσπαστων Πρότυπο:Mvar που αντιμετατίθενται με έναν σταθερό πίνακα Πρότυπο:Mvar.

Οι συμμετρικοί κεντροσυμμετρικοί πίνακες καλούνται μερικές φορές δισυμμετρικοί πίνακες. Όταν το βασικό σώμα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, έχει αποδειχθεί ότι οι δισυμμετρικοί πίνακες είναι ακριβώς εκείνοι οι συμμετρικοί πίνακες των οποίων οι ιδιοτιμές παραμένουν οι ίδιες, εκτός από τις πιθανές αλλαγές προσήμου μετά τον προ- ή μεταπολλαπλασιασμό με τον πίνακα ανταλλαγής. Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τους Ερμιτιανούς κεντροσυμμετρικούς και τους λοξούς κεντροσυμμετρικούς πίνακες.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Ενελικτικός πίνακας
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ταυτοτικός πίνακας
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
• An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
• Wavelets: Theory, Algorithms, and Applications
• Linear Algebra in Signals, Systems, and Control
• Linear Algebra and Matrix Theory
• Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal